数值分析NA07c.ppt

* §3 函数的最佳逼近 /* Optimal Approximation */ ? 最佳平方逼近：即连续型L-S逼近，在 意义 下，使得 最小。 ? 最佳一致逼近 /* uniform approximation */ 在 意义下，使得 最小。也称为minimax problem。 偏差 /* deviation*/ 若 ，则称 x0 为? 偏差点。 Didn’t you say it’s a very difficult problem? Take it easy. It’s not so difficult if we consider polynomials only. §3 Optimal Approximation v 1.0 最佳一致逼近多项式 /* optimal uniform approximating polynomial */ 的构造：求 n 阶多项式 Pn(x) 使得 || Pn ? y ||? 最小。 直接构造 OUAP 的确比较困难，不妨换个角度，先考察它应该具备的性质。有如下结论： ? OUAP 存在，且必同时有? 偏差点。 证明：存在性证明略。后者用反证法，设只有正偏差点。 设 而对于所有的 x?[a, b] 都有 是n阶多项式 是误差更小的多项式 §3 Optimal Approximation ? （Chebyshev定理）Pn 是 y 的OUAP ? Pn 关于 y 在定义域上至少有n+2个交错的? 偏差点。 即存在点集 a ? t1 … tn+2 ? b 使得 { tk }称为切比雪夫交错组 /* Chebyshev alternating sequence */ ? 若 且 y 不是 n 次多项式，则 n 次OUAP 唯一。 证明：反证，设有2个OUAP’s，分别是Pn 和 Qn 。 则它们的平均函数 也是一个OUAP。 2 ) ( ) ( ) ( x Q x P x R n n n + = ? 对于Rn 有Chebyshev交错组{ t1,…, tn+2 }使得 n k k n k k n k k n n E t y t Q t y t P t y t R E ? - + - ? - = | ) ( ) ( | 2 1 | ) ( ) ( | 2 1 | ) ( ) ( | n k k n k k n E t y t Q t y t P = - = - | ) ( ) ( | | ) ( ) ( | 则至少在一个点上必须有 ) ( ) ( ) ( ) ( k n k k k n t Q t y t y t P - = - ? ? 0 ) ( ) ( = - k k n t y t R 0 = n E ? §3 Optimal Approximation ? 由Chebyshev定理可推出：Pn(x) ? y(x) 在定义域上至少变号 次，故至少有 个根。 x y 0 y y x = ( ) y y x E n = + ( ) y y x E n = - ( ) y P x n = ( ) n+1 n+1 可见Pn(x) 是 y(x)的 某一个插值多项式 如何确定插值节点{ x0, …, xn }的位置，使得Pn(x) 刚好是 y 的OUAP ？即，使插值余项 v 2.0 达到极小？ §3 Optimal Approximation v 2.1 在[ ?1, 1]上求{ x1, …, xn } 使得 的||wn||? 最小。 ? = - = n i i n x x x w 1 ) ( ) ( 注意到 ，要使||wn||? 最小就意味着 ) ( ) ( 1 x P x x w n n n - - = v 3.0 在[ ?1, 1]上求函数 xn 的n?1阶 OUAP。 由Chebyshev定理可推出：Pn?1(x) 关于xn 有n+1个偏差点，即wn(x)在