高中二面角的平面角的详细讲解.doc

高中立体几何中二面角的平面角的一、 二面角的平面角的定义 如图（1），α、β是由出发的两个平面,O是上任意一点OC ∈α，且OC；C β，且O。这就是二面角的平面角的环境背景，即COD是二面角α——β的平面角，从中不难得到下列特征： 、过棱上任意一点，其平面角是唯一的； 、其平面角所在平面与其两个半平面均垂直； 另外，如果在OC上任取上一点A，作ABOD垂足为B,那么由特征可知ABβ . 突出、OC、OD、AB，这便是另一特征； 、体现出完整的垂线定理（或逆定理）的环境背景。 对以上特征进行剖析 由于二面角的平面角是由一点和两条射线构成，所以二面角的平面角的定位可化归为“定点”或“定线（面）”的问题。 特征表明，其平面角的定位可先在棱上取一“点”，耐人寻味的是这一点可以随便取，但又总是不随便取定的，它必须与问题背景相互沟通，给计算提供方便。 例1 矩形ABCD，AB 3，BC 4，沿对角线BD把ABD折起， 使点A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A—BC-—的大小。 这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在于搞清折叠前后“变”与“不变”。在平面图形中过A作AEBD交BD于O、交BC于E，则折叠后OA、OE与BD的垂直关系不变。但OA与OE此时变成相交两线段并确定一平面，此平面必与棱垂直。由特征可知，面AOE与面ABD、面CBD的交线OA与OE所成的角，即为所求二面角的平面角。另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直线上，又题设射影落在BC上,所以E点就是A′，这样的定位给定量提供了优质服务。通过对例2的定性分析、定位作图和定量计算，特征从另一角度告诉我们：要确定二面角的平面角，我们可以把构成二面角的两个半平面“平”，然后，在棱上选取一适当的垂线段，即可确定其平面角。“平面图形”与“立体图形”相映生辉，不仅便于定性、定位，更利于定量。 特征显示，如果二面角α——β的两个半平面之一，存在垂线段AB，那么过垂足B作的垂线交于O，连结AO，由三垂线定理可知OA；或者由A作的垂线交于O，连结OB，由三垂线定理逆定理可知OB，此时，AOB就是二面角α——β的平面角，如图。 由此可见，角的平面角的定位可以找“垂线段”。例2已知正三棱锥V—ABC侧棱长为a，高为b，求侧面与底面所成的角的大小。由于正三棱锥的顶点V在底面ABC上的射影H是底面的中心，所以连结CH交AB于O，且OCAB，则VOC为侧面与底面所成二面角的平面角如图（2）。正因为正三棱锥的特性，解决此问题，可以取AB的中点O为其平面角的顶点，而且使背景突出在面VOC上，给进一步定量创造得天独厚的条件。 特征指出，如果二面角α——β的棱垂直某一平面γγ与α、β的交线所成的角就是α——β的平面角，如图。 由此可见，二面角的平面角的定位可以考虑找“垂平面”。 例3 在正方体ABCD—AB1C1D1中，棱长为2，E为BC的中点。求面B1D1E与面积BB1C1C所成的二面角的大小。 例3的环境背景表明，面B1D1E与面BB1C1C构成两个二面角， 由特征可知，这两个二面角的大小必定互补，下面，如果思维由特征监控,背景中的线段C1D1会使眼睛一亮,我们只须由C1 或D1 作B1E的垂线交B1E于O,然后连结OD1 或OC1 ,即得面D1BE与面CC1B1E所成二面角的平面角C1OD1，如图。 三、三个特征的关系 以上三个特征提供的思路在解决具体总是时各具特色，其是分别找“点”、“垂面”、“垂线段”。事实上，我们只要找到其中一个，另两个就接踵而来。掌握这种关系对提高解题技能和培养空间想象力非常重要。 在许多题中由特征， “垂线段”便可定位。 例4 已知RtABC的两直角边AC 2，BC 3，P为斜边上一点，沿CP将此直角三角形折成直二面角A—CP—B，当AB 71/2时，求二面角P—AC—B的大小。 作法A—CP—B为直角二面角， 过B作BDCP交CP的延长线于D，则BDDM APC。 过D作DE AC，垂足为E，连BE。 DEB为二面角A—CP—B的平面角。 再说，定位是为了定，求角的大小往往要化归到一个三角形中去解，有了“垂线段”就可把它化归为解一个直角三角形。由此可见，要作，最好考虑作“垂线段”。 综上所述，二面角平面角的正确而合理的定位，要在正确其定义的基础上，掌握其三个基本特征，并灵活运用它们考察问题的环境背景，建立良好的主观心理空间和客观心理空间，以不变应万变。 分析? 由PC⊥平面ABC，知平面ABC⊥平面PAC，从而B在平面PAC上的射影在AC上，由此可用三垂线定理作出二面角的平面角。 解? ∵ PC⊥平面ABC ∴ 平面PAC⊥平面ABC，交线为AC作BD⊥AC于D点，据面面垂直性质定理，BD⊥平