第17章含参变量的积分.ppt

武夷学院数学与计算机系 * §17 含参变量的正常积分 * 级数与积分是构造函数的两个重要分析工具。我们已经介绍了一种利用定积分构造的函数──积分上限的函数。 本章和下章介绍另一种利用 Riemann 积分与广义积分构造的函数──含参变量的正常积分与含参变量的广义积分，并研究它们的分析性质：连续性、可微性、可积性。 第十七章 含参变量的积分 §17 含参变量的正常积分 1. 含参量正常积分的定义 2. 含参量正常积分的性质 3. 含参量正常积分的一般形式 称为含参量 的正常积分,或简称含参量积分. 1. 含参量正常积分的定义 设 是定义在矩形域 上的连续 函数, 当 取 上某定值时,函数 则是定义在 上以 为自变量的一元函数.若此时 在 上可积, 则其积分值是 在 上取值的函数,表为 (先固定x) 类似地称 为含参变量 的积分。 是由含参变量的积分所确定的函数, 下面我们研究这种函数的连续性，可微性与可积性。 这种形式的函数在理论和应用上都有重要作用, 许多很有用的特殊函数就是这种形式的函数. (先固定y) 若函数 在矩形域 上连续, 则函数 在 上连续 2. 含参量正常积分的性质 证: 若函数 与其偏导数 都在矩形域 上连续,则 在 上可微, 且 即求导和积分可以交换顺序. (证毕) 下面讨论可积性. 设 在矩形 上连续，那末由定理1 ，函数 分别在 及 上连续。因此 在 上可积， 在 上可积。记为 要研究这两个积分是否相等？ 若二元函数 在矩形域 上连续, 则 和 在 和 可积, 且 即累次积分顺序可以交换.或与积分顺序无关. 设 是定义在区域 上的 的二元 函数,其中 , 为定义在 上的连续函数, 若 对于 每一固定的 值, 作为 的函数在 上可积,则其积分值是 在 上取值的函数,表为 称为含参量 的正常积分,或简称含参量积分. 3. 含参变量正常积分的一般形式 x y o G Y=c(x) Y=d(x) 若二元函数 在矩形域 上连续,其中 , 为定义在 上的连续函数,则函数 在 上连续 . 对于参变量的积分： 它的分析性质也有类似的结果。 在 上连续。 都在 上连续，并且 同理也有 设 在矩形 上连续， 则 (教材p245) 证明 当 时，上式右端的三个积分都趋于零，于是 上,