第二讲随机变量.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 分布函数是一个普通的函数，正是 通过它，我们可以用数学分析的工具来 研究 随机变量. 二、离散型 r.v的分布函数 设离散型r.vX 的概率函数是 P{ X=xk } = pk , k =1,2,3,… 则 F(x) = P(X x) = 由于F(x) 是 X 取 的诸值 xk 的概率之和， 故又称 F(x) 为累积概率函数. 离散型随机变量分布函数的计算举例 当 x0 时，{ X x } = ， 故 F(x) =0 例1 ，求 F(x). 当 0 x 1 时， F(x) = P(X x) = P(X=0) = F(x) = P(X x) 解: 当 1 x 2 时， F(x) = P(X=0) + P(X=1) = + = 当 x 2 时， F(x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1 例1 ，求 F(x). F(x) = P(X x) 解: 故 注意右连续 下面我们从图形上来看一下. 概率函数图 分布函数图 画 分布函 数图 不难看出，F(x) 的图形是阶梯状的图形，在 x=0，1，2 处有跳跃，其跃度分别等于 P(X=0) , P(X=1) , P(X=2). 例2 X具有离散均匀分布，即 P(X=xi )=1/n, i=1,2,…，n， x(1) x x(2)时，F(x)=P(X x)=1/n, x(2) x x(3)时，F(x)=P(X x)=2/n, 显然，x x(1)时，F(x)=P(X x)=0, 解：将X所取的n个值按从小到大的顺序 排列为： 求X的分布函数. x(1) x(2) … x(n) x(k) x x(k+1)时，F(x)=P(X x)=k/n, x x(n)时，F(x)=P(X x)=1 解：将X所取的n个值按从小到大的顺序 排列为： 求X的分布函数. x(1) x(2) … x(n) 例2 X具有离散均匀分布，即 P(X=xi )=1/n, i=1,2,…，n， 于是得 这个结果在数理统计中有用. 例2 X具有离散均匀分布，即 P(X=xi )=1/n, i=1,2,…，n， 求X的分布函数. 三、连续型 r.v的分布函数 即分布函数是密度函数的可变上限的 定积分. 若 X 是连续型r.v， X ～ f (x) , 则 F(x) = P(X x) = ～ 由上式可得，在 f (x)的连续点， 下面我们来求一个连续型 r.v 的分布函数. 例3 设r.v X 的密度函数为 f (x) 求 F(x). F(x) = P(X x) = 解： 求 F(x). 解： 对x -1，F(x) = 0 对 对 x1， F (x) = 1 即 四、分布函数的性质 (1) F(x) 非降，即若 x1x2，则F(x1) F(x2) ; (2) F( ) = F(x) = 0 (3) F(x) 右连续，即 如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.v X 的分布函数. 也就是说，性质(1)--(3)是鉴别一个函数是否是某r.v的分布函数的充分必要条件. F( ) = F(x) = 1 试说明F(x)能否是某个r.v 的分布函数. 例4 设有函数 F(x) 解： 注意到函数 F(x)在 上下降， 不满足性质(1)，故F(x)不能是分布函数. 不满足性质(2)， 可见F(x)也不能是r.v 的 分布函数. 或者 例5 在区间 [0，a] 上任意投掷一个质点，以 X 表示这个质点的坐标. 设这个质点落在 [0, a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求 X 的分布函数. 解： 设 F(x) 为 X 的分布函数， 当 x 0 时，F(x) = P(X x) = 0 0 a 当 x a 时，F(x) =1 当 0 x a 时， P(0 X