高中数学教学论文透析高考看分类讨论意识培养.doc

透析高考看分类讨论意识培养（已经发表） 透析近几年高考题目，对于分类讨论的考查几乎每年涉及，分类讨论思想也是高中数学的一种主要思想方法。培养分类意识也是我们高中生学习数学的一项基本目标。本文就从０６年高考题方面，浅谈一下学习中如何培养分类讨论意识。 一、分类讨论应明确的几个问题 问题1 为什么要进行讨论 即要找到讨论的原因，在高中阶段能引起讨论的原因很多如：分式分母是否为零、去绝对值号、二次方程根的分步对称轴与区间的讨论、集合是否为空集的讨论、指对函数底数的讨论、公比q斜率k的讨论、三角函数值角所在象限的讨论、含参高次不等式解的讨论…… 问题2 讨论内容是什么 即找到讨论的目标，明确讨论谁的问题。是变量还是参数，是对称轴还是区间等等。 问题3 怎样进行讨论 即首先确定讨论目标的范围，然后确定讨论的标准。 问题4 讨论的原则 讨论的原则为在字母的范围内要做到不重不漏。 二、分类讨论应明确的几种题型 １、由参数引起的的讨论 近几年对含参不等式与导数交汇的题目是一个热点。也是今后命题的趋向。 例1 （06全国Ⅰ） 已知函数 （Ⅰ）设，讨论的单调性； （Ⅱ）若对任意恒有，求的取值范围。 分析：此题是与导数有关的一类问题，思路为求f x 导函数判断的符号再判断函数f x 的单调性 解析： Ⅰ 由题意可知f x 的定义域为 －∞,1 ∪ 1,+∞ . 对f x 求导数得 f x e－ax. （注意求导时要化为最简形式，引起讨论的原因为e－ax.的符号与单调性的关系，而e－ax.的符号是由ax2+2-a决定的。） ⅰ 当a 2时, f x e－2x, f x ＞0的解为 －∞,0 或 0,1 或 1,+ ∞ 且只在x 0时 f x ＝0，所以f x 在 －∞,1 , 1,+∞ .为增函数. ⅱ 当0 a 2时, f x 0, f x 在 －∞,1 , 1,+∞ 为增函数. ⅲ 当a 2时, 0 1, 令f x 0 ,解得x1 － , x2 . 当x变化时, f x 和f x 的变化情况如下表: X －∞, － －, ,1 1,+∞ f x ＋ － ＋ ＋ f x ↗ ↘ ↗ ↗ f x 在 －∞, － , ,1 , 1,+∞ 为增函数, f x 在 －, 为减函数. 综上所述 当0 a≤2时, f x 在 －∞,1 , 1,+∞ 为增函数. 当a 2时f x 在 －∞, － , ,1 , 1,+∞ 为增函数, f x 在 －, 为减函数. Ⅱ ⅰ 当0 a≤2时, 由 Ⅰ 知: 对任意x∈ 0,1 f x 为增函数，所以恒有f x f 0 1. ⅱ 当a 2时, 取x0 ∈ 0,1 ,则由 Ⅰ 知 f x0 f 0 1 ⅲ 当a≤0时, 对任意x∈ 0,1 ,恒有 1且e－ax≥1,得 f x e－ax≥ 1. 综上可得　当且仅当a∈ －∞,2]时,对任意x∈ 0,1 恒有f x 1。 评注：（１）利用导数求单调区间的步骤：先确定函数的定义域，求f x 导函数判断的符号，再判断函数f x 的单调区间。 （２）判断ax2+2-a符号是要注意a 0这一范围和ax2+2-a＝0的情况。本题讨论的是参数a、讨论的原因是式子的符号引起单调性的变化。 ２、由自变量引起的讨论 例２　设 则不等式f x 2的解集为 A （1，2）（3，+∞） B （，+∞） C （1，2） （ ，+∞） D （1，2） 分析：本题没有参数，讨论的是自变量，注意与上一题的区别。 解析：当x 2时 2解得1 x 2。 当x≥2时 2 解得x （，+∞） 综上所述　可得不等式f x 2的解集为（1，2） （ ，+∞） 评析：问题时一定要分清讨论的目标是自变量还是参数，当讨论自变量时结果取并集，当讨论参数时注意分情况写出。 ３、由概念引起的讨论 例３ 平面直角坐标系O中，直线与抛物线＝2相交于A、B两点． 求证：“如果直线过点T（3，0），那么＝3”是真命题； 分析：此题设直线方程时须考虑直线斜率是否存在 解析：设过点T 3,0 的直线交抛物线y2 2x于点A x1,y1 、B x2,y2 . 当直线的钭率存在时,直线的方程为x 3,此时,直线与抛物线相交于A 3, B 3,－ .∴ 3； ２、 当直线的率存在时,设直线的方程为得 又 ∵ ∴， 综上所述命题“如果直线过点T 3,0 那么 3”是真命题 3 用心 爱心 专心