高中数学选修2-2第4章导数及其应用.doc

导数及其应用知识点总结 导数概念的引入 导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数在处的瞬时变化率是， 我们称它为函数在处的导数，记作或，即 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t 单位：s 存在函数关系 运动员在t 2s时的瞬时速度是多少？ 解：根据定义 即该运动员在t 2s是13.1m/s,符号说明方向向下 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点趋近于时，直线与曲线相切。容易知道，割线的斜率是，当点趋近于时，函数在处的导数就是切线PT的斜率k，即 导函数：当x变化时，便是x的一个函数，我们称它为的导函数. 的导函数有时也记作,即 二.导数的计算 基本初等函数的导数公式: 1若 c为常数 ，则； 2 若,则; 3 若,则 4 若,则; 5 若,则 6 若,则 7 若,则 a＞0，且a≠1 若,则 ① C ′＝0 C为常数 ； ② ′＝ x＞0， ； ③ sinx ′＝cosx； ④ cosx ′＝－sinx； ⑤ ax ′＝axlna a＞0，且a≠1） ⑥ ex ′＝ex ⑦； ⑧ a＞0，且a≠1 ． 导数的运算法则 1. 2. 3. 复合函数求导 和,称则可以表示成为的函数,即为一个复合函数 考点：导数的求导及运算 求函数的导数 ★1、已知，则 ★2、若，则 ★3. ax3+3x2+2 ，，则a （　　　） ★★4.过抛物线y x2上的点M的切线的倾斜角是（） A.30° B.45° C.60° D.90° ★★5.如果曲线与在处的切线互相垂直，则 三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数: 一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，如果，那么函数在这个区间单调递增； 如果，那么函数在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数 极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数的极值的方法是: 如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值; 如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值; 4.函数的最大 小 值与导数 函数极大值与最大值之间的关系. 求函数在上的最大值与最小值的步骤 求函数在内的极值； 将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值. 一、题型一：导数在切线方程中的运用 ★1.曲线在P点处的切线斜率为k,若，－） ★2.曲线，过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 二、题型二：导数在单调性中的运用 ★1. 05广东卷 函数是减函数的区间为 A. B. C. D. ★2．关于函数，下列说法不正确的是（ ） A．在区间（，0）内，为增函数 B．在区间（0，2）内，为减函数 C．在区间（2，）内，为增函数 D．在区间（，0）内,为增函数 ★★3． 05江西 已知函数的图象如右图所示 其中是函数的导函数 ，下面四个图象中的图象大致是（ ） ★★★4、已知函数 （Ⅰ）当 （Ⅱ）当时，讨论的单调性． 三、导数在最值、极值中的运用： ★1.（05全国卷Ⅰ）函数，已知在时取得极值，则 （ ） A．2 B. 3 C. 4 D.5 ★2．函数在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） A.5 , - 15 B.5 , 4 C.- 4 , - 15 D.5 , - 16 ★★★3.（根据04年天津卷文21改编）已知函数是R上的奇函数，当时取得极值－2. （1）试求a、c、d的值；（2）求的单调区间和极大值； 4 -2 2 O 1 -1 -1 1 O -2 2 1 -1 -2 1 2 O -2 -2 2 1 -1 1 2 O -2 4 1 -1 -2 1 2 O -2 2 -1 2 4 A B C D