高中数学选修2-2试卷第2章章末总结.doc

章末总结 知识点一　合情推理 归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体，个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理． 例1　在平面上有n条直线，任何两条都不平行，并且任何三条都不交于同一点，问这些直线把平面分成多少部分？ 例2　已知点O是ABC内任意一点，连接AO、BO、CO并延长交边于A′、B′、C′，则＋＋＝1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”：＋＋＝＋＋＝＝1，那么在空间四面体A—BCD中存在怎样的结论？并证明． 知识点二　演绎推理 合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．从二者在认识事物的过程中所发挥作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的．合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得，合情推理可以为演绎推理提供方向和思路． 演绎推理的一般模式是“三段论”． 例3　已知函数f(x)＝＋bx，其中a0，b0，x(0，＋∞)，确定f(x)的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性． 知识点三　综合法与分析法 综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法和综合法可相互转换，相互渗透，充分利用这一辩证关系，在解题中综合法和分析法联合运用，转换解题思路，增加解题途径． 例4　已知a，b，cR＋，且a＋b＋c＝1，求证： 知识点四　反证法 反证法是间接证明的一种基本方法，它不去直接证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上，运用正确的推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性．在证明一些否定性命题、唯一性命题或含有“至多”、“至少”等字句的命题时，正面证明较难，可考虑反证法，即“正难则反”． 例5　已知a，b，c(0,1)．求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可能都大于. 例6　 如图所示，已知两直线l∩m＝O，lα，mα，lβ，mβ，α∩β＝a. 求证：l与m中至少有一条与β相交． 知识点五　数学归纳法 数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可，第二步中证明“当n＝k＋1时结论正确”的过程中，必须用“归纳假设”，否则就是错误的． 例7　数列|an|满足Sn＝2n－an (nN*)． (1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想． 重点解读 例1　解　设n条直线分平面为Sn部分，先实验观察特例有如下结果： n 1 2 3 4 5 6 … Sn 2 4 7 11 16 22 … n与Sn之间的关系不太明显，但Sn－Sn－1有如下关系： n 1 2 3 4 5 6 … Sn 2 4 7 11 16 22 … Sn－Sn－1 2 3 4 5 6 … 观察上表发现如下规律：Sn－Sn－1＝n(n＝2,3，…)． 这是因为在n－1条直线后添加第n条直线被原(n－1)条直线截得的n段中的任何一段都将它所在的原平面一分为二，相应地增加n部分，所以Sn＝Sn－1＋n，即Sn－Sn－1＝n. 从而S2－S1＝2，S3－S2＝3，S4－S3＝4，…，Sn－Sn－1＝n. 将上面各式相加有Sn－S1＝2＋3＋…＋n， Sn＝S1＋2＋3＋…＋n＝2＋2＋3＋…＋n ＝1＋. 例2　解　在四面体A—BCD内，任取一点O，连接AO、BO、CO、DO，并延长交对面于A′、B′、C′、D′， 则有＋＋＋＝1. 证明如下： 在四面体O—BCD与A—BCD中，＝， 同理有＝，＝， ＝， ＋＋＋ ＝＋＋＋ ＝＝1， 即＋＋＋＝1. 例3　解　f(x)的单调区间为 和， 证明：设0x1x2，则 f(x1)－f(x2)＝－ ＝(x2－x1) 当0x1x2≤时， 则x2－x10,0x1x2，b， f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)， f(x)在上是减函数． 当x2x1≥时， 则x2－x10，x1x2，b， f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)， f(x)在上是增函数． 例4　证明　方法一　(综合法) ＝·· ＝·· ＝ ≥＝8， 当且仅当a＝b＝c时等号成立，所以不等式成立． 方法二　(分析法) 要证≥8成立， 只需证·