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黄冈中学高考数学典型例题29排列组合的应用问题
黄冈中学
高考数学典型例题详解
排列与组合 应用问题
排列、组合是每年高考必定考查的内容之一,纵观全国高考数学题,每年都有1~2道排列组合题,考查排列组合的基础知识、思维能力.
●难点磁场
(★★★★★)有五张卡片,它们的正、反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9,将其中任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三位数?
●案例探究
[例1]在∠AOB的OA边上取m个点,在OB边上取n个点(均除O点外),连同O点共m+n+1个点,现任取其中三个点为顶点作三角形,可作的三角形有( )
命题意图:考查组合的概念及加法原理,属★★★★★级题目.
知识依托:法一分成三类方法;法二,间接法,去掉三点共线的组合.
错解分析:A中含有构不成三角形的组合,如:CC中,包括O、Bi、Bj;CC中,包含O、Ap、Aq,其中Ap、Aq,Bi、Bj分别表示OA、OB边上不同于O的点;B漏掉△AiOBj;D有重复的三角形.如CC中有△AiOBj,CC中也有△AiOBj.
技巧与方法:分类讨论思想及间接法.
解法一:第一类办法:从OA边上(不包括O)中任取一点与从OB边上(不包括O)中任取两点,可构造一个三角形,有CC个;第二类办法:从OA边上(不包括O)中任取两点与OB边上(不包括O)中任取一点,与O点可构造一个三角形,有CC个;第三类办法:从OA边上(不包括O)任取一点与OB边上(不包括O)中任取一点,与O点可构造一个三角形,有CC个.由加法原理共有N=CC+CC+CC个三角形.
解法二:从m+n+1中任取三点共有C个,其中三点均在射线OA(包括O点),有C个,三点均在射线OB(包括O点),有C个.所以,个数为N=C-C-C个.
答案:C
[例2]四名优等生保送到三所学校去,每所学校至少得一名,则不同的保送方案的总数是_________.
命题意图:本题主要考查排列、组合、乘法原理概念,以及灵活应用上述概念处理数学问题的能力,属★★★★级题目.
知识依托:排列、组合、乘法原理的概念.
错解分析:根据题目要求每所学校至少接纳一位优等生,常采用先安排每学校一人,而后将剩的一人送到一所学校,故有3A种.忽略此种办法是:将同在一所学校的两名学生按进入学校的前后顺序,分为两种方案,而实际题目中对进入同一所学校的两名学生是无顺序要求的.
技巧与方法:解法一,采用处理分堆问题的方法.解法二,分两次安排优等生,但是进入同一所学校的两名优等生是不考虑顺序的.
解法一:分两步:先将四名优等生分成2,1,1三组,共有C种;而后,对三组学生安排三所学校,即进行全排列,有A33种.依乘法原理,共有N=C =36(种).
解法二:分两步:从每个学校至少有一名学生,每人进一所学校,共有A种;而后,再将剩余的一名学生送到三所学校中的一所学校,有3种.值得注意的是:同在一所学校的两名学生是不考虑进入的前后顺序的.因此,共有N=A·3=36(种).
答案:36
●锦囊妙计
排列与组合的应用题,是高考常见题型,其中主要考查有附加条件的应用问题.解决这类问题通常有三种途径:
以元素为主,应先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素.
以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置.
先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去不符合要求的排列数或组合数.
前两种方式叫直接解法,后一种方式叫间接解法.
在求解排列与组合应用问题时,应注意:
(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题;
(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理;
(3)分析题目条件,避免“选取”时重复和遗漏;
(4)列出式子计算和作答.
解排列与组合应用题常用的方法有:直接计算法与间接计算法;分类法与分步法;元素分析法和位置分析法;插空法和捆绑法等八种.
经常运用的数学思想是:
①分类讨论思想;②转化思想;③对称思想.
●歼灭难点训练
一、填空题
1.(★★★★)从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C,所得的经过坐标原点的直线有_________条(用数值表示).
2.(★★★★★)圆周上有2n个等分点(n>1),以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为_________.
二、解答题
3.(★★★★★)某人手中有5张扑克牌,其中2张为不同花色的2,3张为不同花色的A,有5次出牌机会,每次只能出一种点数的牌但张数不限,此人有多少种不同的出牌方法?
4.(★★★★)二次函数y=ax2+bx+c的系数a、b、c,在集合{-3,-2,-1,0,1,2,3,4}中选取3个不同的值,则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线多少条?
5.(★★★★★)有3名男生,4名女生,在下列不同要求下
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