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例说数学解题思想之 构造和转化 旺苍县黄洋初中 蒋文明 在数学解题过程中,对于一些比较抽象或难以理解、难以思考的问题，要迅速让学生明白是件困难的事情，甚至用一般的思想方法也难以对问题进行正面、直接的攻破，这时如能根据问题的性质和条件，运用构造和转化思想，结合实践操作，将抽象问题具体化，便能事半功倍，比如：通过去分母将分式方程化为整式方程、利用勾股定理将几何问题化为代数问题等，总之，尽量将复杂的问题化为某个熟悉的或已经解决的问题，这就是数学当中的转化思想，它是数学中的一种极为重要性的思维方式，贯穿于整个数学解题和数学研究的始终。 而完成转化的过程就是数学构造的过程。所谓数学构造，就是通过对待解问题的分析和研究创造设计出新的数学对象，如构造面几何图形、函数、方程等，从而使原问题变得简单、熟悉。而这种创造设计需要以已知条件为材料，以数学关系为支架，借助敏锐的观察和丰富的联想，才能达到巧妙转化目的。用构造和转化的思想方法解题，常能突破常规，标新立异，以使“峰回路转，柳暗花明”，表现出简捷、灵活、明快、精巧的特点。从下面几例，我们便可体会到构造和转化的无穷魅力。 例1：判断“一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形”这一命题是否成立，并说明理由。 一般情况下，我们都知道这是一个假命题，但却不易举出反例，告别对于初学平行四边形的同学来说，举反例更是难上加难，如果按要求去画，恰好又是一个平行四边形，怎么办？我们联想到等腰三角形中有一对边相等，一组角相等，如果能从此处入手试着变换一下，或许可以得出结论。如下： 如下图（学生合作完成）用纸剪出一个等腰三角形△ABC，并在底边BC上任取一点D（注意：勿取BC中点），沿AD将三角形剪开，分成△ADB和△ADC，再如图所示将其中一个三角形中AD边倒置和原剪痕重新拼合，使原AB即现BD和原AC 成为对边，则∠B与∠C构成对角，四边形ACDB即为一组对边相等一组对角相等的四边形。但它却不是平行四边形。从而使问题得以解决。不需多作解释，学生通过动手便会对此问题明了于心，而且会记得更牢。 A B A（D） 前DB＝后AB 前AB＝后DB B D C （A）D C 例2、已知一元二次方程（k-1）x-2 2-k x-k+9 0有两个不相等的实数解，且其中一个大于1,另一个小于1。试求k的取值范围。 解：设二次函数Y＝（k-1）x-2 2-k x-k+9 当x＝1时，可求得函数值Y＝2k+4 y y 0 1 x x 0 1 （图一） （图二） 1）若抛物线的开口向上，如（图一） 2 若抛物线开口向下，如（图二） k- 1 0 k 1 k-1 0 由 得 由 得： -2 k 1 2k+4 0 k -2 2k+4 0 （此不等式组无解.） 综上可知：符合条件的k的取值范围是：-2 k 1 例3、若x+y 15,求的最小值。 由于本题含有两个未知数，且被开方式是两个平方之和，要直接计算显然是很困难的，可设想利用勾股定理构造直角三角形来求解。 A A 3 3 x y x y M O N M O N 5 5 （图一） B C B （图二） 解：（如上图一），作线段MN＝15，过两端点MN的异侧作AM⊥MN，BN⊥MN，构造直角三角形Rt△AMO和Rt△BNO，分别取AM 3，BN 5，O在MN上，取MO x，NO y，显然AO ，BO。即： AO+BO。 欲使其和最小，则A、O、B三点必共线。（如上图二）延长AM和MN的平行线BC交于点C，则有Rt△ABC，进而利用勾股定理可求得原式的最小值。 由已知得AC 3+5 8，BC MN 15 故： AB 17 是为最小值。 以上几例即可见构造和转化的妙处，其实构造和转化的过程，也是对创新思维和创新能力培养的过程。只有不断更新我们的思维方式，丰富我们的知识储备，才能更好的构造出巧妙的解题策略，提高我们的数学修养。 2