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导数与微分 导数的概念与导数的四则运算 导入新课： 导数与微分是微分学的两个最基本、最重要的概念。导数刻画的是函数相对于自变量的变化快慢程度，即变化率。本节主要研究导数的概念、性质和基本求导公式。下面，我们先通过两个经典实例引出导数的概念，进而研究导数的计算方法。 讲授新课： 两个引例 引例2.1.1（变速直线运动的瞬时速度）设物体作变速直线运动，路程关于时间的运动方程为，试求物体在时刻的瞬时速度。 解：对于匀速运动来说，我们有速度公式： （表示经过的路程，表示所用的时间）。 当时间由获得增量时，路程有相应的增量 比值 就是物体在到这段时间内的平均速度，记作，即 显然，越小，平均速度就越接近于物体在时刻的瞬时速度。当无限小时，平均速度就无限接近于物体在时刻的瞬时速度，即 引例2.1.2（平面曲线的切线斜率）设函数的图像为曲线L，考察曲线L上某点的切线的斜率。 解：记点坐标为，设为曲线L上另一点，与到 轴的垂足分别为和，作垂直并交于，则 而比值 便是割线的斜率，当时，沿曲线L无限接近于，割线无限接近于切线，从而得到切线的斜率 导数的定义 导数的定义 定义2.1.1 设函数在点的某一领域内有定义，当自变量在处有增量（，仍在该领域内）时，相应地，函数有增量，如果当时，极限 存在，则称函数在点处可导，并称该极限值为函数在点 处的导数，记作，也记为 或 即 若极限不存在，则称函数在点处不可导。 若令，则当时，有，故函数在处的导数也可表示为 有了导数的概念，前面两个引例中的所求量可以表述为： （1）作变速直线运动的物体在时刻的瞬时速度，是距离函数在处对时间的导数，即 （2）平面曲线在点的切线斜率是函数在该点对自变量的导数，即 2）左、右导数 类比于左、右极限的概念，若存在，则称之为在点处的左导数，记为，即 若存在，则称之为在点处的右导数，记为，即 定理2.1.1 函数在点的左、右导数存在且相等是在点处可导的充分必要条件。 若函数在区间内每一点都可导，则称在区间内可导，相应地，称是区间上的可导函数。 若在内可导，则对任意，都有一个确定的导数值与之对应，这样就确定了一个新的函数，此函数称为函数的导函数，记作 由导数与导函数定义可知，函数在点处的导数，就是导函数在点处的函数值，即 3）导数的几何意义 由引例2.1.2和定义2.1.1可知，函数在点处的导数等于函数所表示的曲线在相应点处的切线斜率，这就是导数的几何意义。 根据导数的几何意义，可得曲线在处的切线方程和法线方程。若存在，则曲线L上点的切线方程为 若，则切线垂直于轴，切线方程为轴的垂线。 若，则过点的法线方程是 而当时，法线为轴的垂线；切线为平行于轴的直线。 4）可导与连续 如果函数在某点导数存在，那么它一定在该点连续。反之，不成立。 事实上，若函数在点处可导，则有 由函数的极限与无穷小的关系，有 其中为当时的无穷小。两端同时乘以，得 令对上式取极限，得 这就是说函数在点处连续。但是，若函数在处连续，则在该点函数不一定可导。 例如，函数在处连续，但是在该点不可导。 一方面，因为 所以 即该函数在处连续。 另一方面，在点处的右导数为 在点处的左导数为 左右导数不相等，故函数在处不可导。 因此，函数连续是可导的必要条件而非充分条件。 5）变化率模型 例2.1.2（细杆的线密度模型）以一根质量非均匀分布的直细杆的一端为坐标原点，从该端指向直杆另一端的方向为坐标轴正方向，建立数轴。已知直杆段的质量是的函数，求杆上处的线密度。 解：若细杆质量分布是均匀的，长度为的一段的质量为，则它的线密度为 由于细杆在段的质量，在段的质量，于是在这段细杆的质量为 这段细杆的平均线密度为 求导举例 利用导数定义求函数的导数，可以分为以下三个步骤： （1）求增量： （2）算比值： （3）取极限： 例2.1.5 求常函数（为常数）的导数。 解：因为，即不论取什么值，的值总等于，所以； ； 这就是说，常函数的导数等于零。 例2.1.6 求函数的导数。 解：； ； ， 即 更一般地有 例2.1.7 求函数的导数。 解： 由的连续性及重要极限，上式得 即 用类似的方法，可求得余弦函数的导数为 函数的和、差、积、商的求导法则 定理2.1