2第二讲三角函数与平面向量理科.doc

第二讲　三角函数与平面向量 第一节 三角函数的化简、求值及证明 三角函数的化简、求值及证明涉及恒等变换，而三角函数的恒等变换是历年高考命题的热点. 它既可以出现小题（选择或者填空），也可以与三角函数的性质，解三角形，向量等知识结合，参杂、渗透在解答题中，它们的难度值一般控制在0.5-0.8之间. 提高三角变换能力, 要学会设置条件, 灵活运用三角公式, 掌握运算、化简及证明的方法和技能. 考试要求 ⑴理解同角三角函数的基本关系式；（2）会推导两角和与差、二倍角的余弦、正弦、正切公式，了解它们的内在联系，能运用上述公式进行简单的恒等变换；（3）掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 题型一 三角函数的值求角问题 例1 （１）在中，内角的对边分别是，若，，则（　　）． 　Ａ．　　　B．　　　C．　　　D． （２）若，，求α+2β . 点拨 本题（１）利用正弦定理进行角化边，然后利用余弦定理求角A. 题（２）首先应求α+2β的函数值，为了使角的范围好控制，这里选用正切值好一点，然后根据条件依次找出所需的条件，要注意角的范围. 解三角形的问题关键是灵活运用正弦定理和余弦定理，正确进行边化角、角化边，探寻解答. 题（２）最困难的地方在于确定α+2β的范围，一般地，根据已知条件，把角的范围限制得越精确，结果也越准确. 解（１）由及正弦定理，得，代入，得 ，即，又，（为什么从角化边入手？） 由余弦定理，（选用余弦定理合理否？） 所以．故选Ａ． （２）∵，，∴ ∴，（为什么要把角的范围定得这样精确？） α+2β,又tan2β , ∴,∴α+2β . 易错点 题（１）记错公式、忘记讨论角的范围或者代数运算不熟练是造成这类解三角形问题的出错的主要原因.这里选用余弦定理求角是正确的，如果选用正弦定理求角就不合理，一是出现2个角，二是要讨论舍弃1个角，更容易出错；题（２）中，角的范围容易忽略或放大，导致错误. 变式与引申1：已知α，β为锐角，tanα ，sinβ ,求2α+β的值. 题型二 三角函数化简、求值例2　（20卷科第1题）在中，角A,B,C的对边是a,b,c,已知　　（1）求的值　　（2）若a 1, ,求边c的值 点拨合理且灵活运用正弦定理和余弦定理是从角化边入手还是边化角入手；（）恒等变形求出,再利用正弦定理. 解：（1）由 正弦定理得： 及：所以。 （2）由 展开易得： 正弦定理： 易错点 不知道将已知条件中的角化成同角,从而利用恒等变形得出.再由正弦定理求出 变式与引申2：（20卷科第1题） 题型三 三角函数的范围问题 例3　已知函数. （1）当时，求在区间上的取值范围； （2）当时，，求的值. 点 拨 （1）首先把变换成的形式，要特别注意在区间上求的取值范围；（2）如何把正切值转换为已知的三角函数值，从而求出的值. 解 1 当，. 由，得， 从而在区间上的取值范围是. （2） . 由，得 ， .所以，由 ，求得 . 在高考中，本题第（2）小题还出现一些新的解法，同学们不妨一试： 解法思路：由 ，从而有四条思路： （1），化成关于的等式，求出m-2; （2），同（1），求出m -2. （3），同（1），求出m-2. （4）由，，求出m-2. 易错点 记错二倍角公式；不会在区间上，联系三角函数图像求函数的取值范围；或运用公式不合理，产生错误.例如用，去求，容易出现符号处理带来的麻烦等等. 变式与引申3：已知向量，，且，其中A、B、C是ABC的内角，分别是角A，B，C的对边． （1）求角C的大小； （2）求的取值范围． 题型四 三角函数化简、求值的综合应用 例4　已知角是三角形的三内角，向量,,， 且. （1）求角； （2）求；（3）若边的长为，求的面积． 点拨 本题难在第（2）题，若整理成关于角B的二次式或齐次式，运算则相对简单；第（3）题也要注意选择运算简单的思路. 解（1）∵, ∴ , 即. ,. ∵,∴,∴, ∴. （2）由题知，整理得，∴, ∴.∴或.而使，舍去. ∴. ∴. （3）由（1）知， 得，又，故（舍去负值，为什么？）, 由正弦定理，∴. ∴. 故三角形的面积. 易错点 求解本题，易错点有二：一是本题有点运算量,很容易由于选择的解法运算繁琐而算错；二是不会根据条件回避讨论.由角的范围或其它隐含条件去讨论甄别函数值至关重要，也很容易出错． 解法思路：化简时，也有很多的思路，如： ⑴由,得； ⑵由得等. 变式与引申4：在例4题（3）中，若内角A，B，C的对边分别为a、b、c，且求边c的长. 本节主要考查 ⑴三角函数的公式及其在化简、求值和证明中的运用；⑵ 恒等变