参数方程化普通方程.docVIP

参数方程化普通方程 　　[重点难点]掌握参数方程化普通方程的方法，理解参数方程和消去参数后所得的普通方程的等价性；应明确新旧知识之间的联系，提高综合运用所学知识解决数学问题能力。 　　[例题分析]　　1．把参数方程化为普通方程(1)　(θR，θ为参数) 　　解: y=2+1-2sin2θ, 把sinθ=x代入， y=3-2x2,　　又 |sinθ|≤1, |cos2θ|≤1, ∴ |x|≤1, 1≤y≤3, 　　 所求方程为y=-2x2+3 　(-1≤x≤1, 1≤y≤3) 　　(2)　(θR，θ为参数） 　　解: x2=(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ，把y=sinθcosθ代入， x2=1+2y。 　　又 x=sinθ+cosθ=sin(θ+)　　y=sinθcosθ=sin2θ 　　 |x|≤，|y|≤。 所求方程为x2=1+2y (|x|≤, |y|≤) 　　小结:上述两个例子可以发现，都是利用三角恒等式进行消参。消参过程中都应注意等价性，即应考虑变量的取值范围，一般来说应分别给出x, y的范围。在这过程中实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法。 　　(3)　(t≠1, t为参数) 　　法一:注意到两式中分子分母的结构特点，因而可以采取加减消参的办法。 　　x+y==1,　又x=-1≠-1，y=≠2, 　　 所求方程为x+y=1 (x≠-1, y≠2)。 　　法二:其实只要把t用x或y表示，再代入另一表达式即可。由x=, ∴x+xt=1-t, 　　 (x+1)t=1-x，即t=　代入　y==1-x， x+y=1，（其余略） 　　这种方法称为代入消参，这是非常重要的消参方法，其它不少方法都可以看到代入消参的思想。 　　(4)(t为参数) 　　分析:此题是上题的变式，仅仅是把t换成t2而已，因而消参方法依旧，但带来的变化是范围的改变，可用两种求值域的方法: 　　法一:x=-1, ∵t2≥0, t2+1≥1,∴ 0≤1, ∴-1-1≤1, ∴-1x≤1。 　　法二:解得t2=≥0, ∴ -1x≤1,同理可得出y的范围。 　　(5) (t为参数) 　　分析:现在综合运用上述各种方法进行消参，首先，求x,y范围。 　　由x=得x2=≥0, ∴-1x≤1,由y=, t=0时，y=0； 　　t≠0时，|y|=≤=1，从而|y|≤1。 　　法一:注意到分子，分母的结构，采用平方消参， 　　x2+y2=()2+()2===1。 　　法二:关键能不能用x, y表示t，且形式简单　　由x=得t2=，代入y==t(1+x)　 t=　再代入x=，化简得x2+y2=1。 　　法三:注意到表达式与三角中万能公式非常相象 　　可令t=tgθ，θ(-)，x==cos2θ,　y==sin2θ, 　　 x2+y2=1，又2θ(-,)， -1x=cos2θ≤1, -1≤y=sin2θ≤1,所求方程为x2+y2=1(x≠-1)。 　　2．已知圆锥曲线方程是 　　1）若t为参数，φ为常数，求它的普通方程，并求出焦点到准线的距离。 　　2）若φ为参数，t为常数，求它的普通方程，并求它的离心率e。 　　解:1）由已知，　由(1) 得t=代入(2) 　　y-4sinφ+5=-6·(x-5cosφ-1)2=-(y-4sinφ+5)　　为顶点在(5cosφ+1,4sinφ-5)开口向下的抛物线，其焦点到准线距离p=。 　　2）由已知　=1，　　表示中心在(3t+1, -6t2-5)的椭圆，其中a=5, b=4, c=3， e=。 　　分析:从上题可以看出，所指定参数不同，方程所表示的曲线也各不相同。从而给出参数方程一般应指明所取参数。 　　3．抛物线y2=4p(x+p)(p0)，过原点作互相垂直的两条直线分别被抛物线截得线段为AB，CD，M为AB中点，N为CD中点，G为MN中点。求G点轨迹方程，并说明其图形。 　　解:设AB方程为y=kx代入抛物线方程y2=4p(x+p)　　 k2x2-4px-4p2=0, 若A，B坐标为(x1, y1), (x2, y2) 则 　　 xM=, yM=, 　　 AB⊥CD,∴ CD方程为y=-x，代入y2=4p(x+p)，　　x2-4px-4p2=0，设C(x3, y3),D(x4,y4) 　　　　 N(2pk2, -2pk) 则G点坐标(x,y)为 　　y2=p2(+k2-2)=p2(-2)=p(x-2p)　　x=p(k2+)≥p·2=2p，而yR在方程中都已体现， 　　 轨迹方程为y2=p(x-2p)为顶点(2p,0)开口向右的抛物线。 　　说明:消参一般应分别给出x,y的范围，而二题