《三维设计》2016级数学一轮复习基础讲解函数的奇偶性及周期性(含解析).doc

第四节函数的奇偶性及周期性 [知识能否忆起] 一、函数的奇偶性 奇偶性 定　义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 二、周期性 1．周期函数 对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． [小题能否全取] 1．(2012·广东高考)下列函数为偶函数的是(　　) A．y＝sin x　　　　　　　　B．y＝x3 C．y＝ex D．y＝ln 解析：选D　四个选项中的函数的定义域都是R.y＝sin x为奇函数．幂函数y＝x3也为奇函数．指数函数y＝ex为非奇非偶函数．令f(x)＝ln ，得f(－x)＝ln ＝ln ＝f(x)．所以y＝ln为偶函数． 2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b 的值是(　　) A．－ B. C. D．－ 解析：选B　f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数， a－1＋2a＝0，a＝.又f(－x)＝f(x)， b＝0，a＋b＝. 3．(教材习题改编)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：选B　f(x)为奇函数且f(x＋4)＝f(x)， f(0)＝0，T＝4. f(8)＝f(0)＝0. 4．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________. 解析：法一：f(－x)＝f(x)对于xR恒成立，|－x＋a|＝|x＋a|对于xR恒成立，两边平方整理得ax＝0，对于xR恒成立，故a＝0. 法二：由f(－1)＝f(1)， 得|a－1|＝|a＋1|，故a＝0. 答案：0 5．(2011·广东高考)设函数f(x)＝x3cos x＋1.若f(a)＝11，则f(－a)＝________. 解析：观察可知，y＝x3cos x为奇函数，且f(a)＝a3cos a＋1＝11，故a3cos a＝10.则f(－a)＝－a3cos a＋1＝－10＋1＝－9. 答案：－9 　1.奇、偶函数的有关性质： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件； (2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反之亦然； (3)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0； (4)利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于y轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反． 2．若函数满足f(x＋T)＝f(x)，由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期；应注意nT(nZ且n≠0)也是函数的周期． 函数奇偶性的判断 典题导入 [例1]　(2012·福州质检)设Q为有理数集，函数f(x)＝g(x)＝，则函数h(x)＝f(x)·g(x)(　　) A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数也是偶函数 D．既不是偶函数也不是奇函数 [自主解答]　当xQ时，－xQ，f(－x)＝f(x)＝1；当xRQ时，－xRQ，f(－x)＝f(x)＝－1.综上，对任意xR，都有f(－x)＝f(x)，故函数f(x)为偶函数．g(－x)＝＝＝－＝－g(x)，函数g(x)为奇函数．h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝f(x)·[－g(x)]＝－f(x)g(x)＝－h(x)，函数h(x)＝f(x)·g(x)是奇函数．h(1)＝f(1)·g(1)＝，h(－1)＝f(－1)·g(－1)＝1×＝，h(－1)≠h(1)，函数h(x)不是偶函数． [答案]　A 由题悟法 利用定义判断函数奇偶性的方法 (1)首先求函数的定义域，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件； (2)如果函数的定义域关于原点对称，可进一步判断f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是否对定义域内的每一个x恒成立(恒成立要给予证明，否则要举出反例)． [注意]　判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性． 以题试法 1．判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝＋； (2)f(x)＝3x－3－x； (3)f(x)＝； (4)f(x)＝ 解：(1)由得x＝±1， f(x)的定义域为{－1