三角函数的图像与性[高考数学总复习][高中数学课时训].doc

三角函数的图像与性质 1. ①在(0,)上递减； ②以2为周期； ③是奇函数.写出一个同时满足上述条件的函数 （写出一个你认为正确的即可）. 答案 y=-sinx 2.（2009·东海高级中学高三调研）将函数y=sin的图象先向左平移,然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为 . 答案 y=sin 3.设函数y=acosx+b（a、b为常数)的最大值是1，最小值是-7，那么acosx+bsinx的最大值是 . 答案 5 4.函数y=|sinx|的一个单调增区间是 （写出一个即可）. 答案 5.（2008·全国Ⅱ理）若动直线x=a与函数f(x)=sinx和g(x)=cosx的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为 . 答案 例1 求下列函数的定义域： （1）y=lgsin(cosx);(2)y=. 解 （1）要使函数有意义，必须使sin(cosx)＞0. ∵-1≤cosx≤1,∴0＜cosx≤1. 方法一 利用余弦函数的简图得知定义域为{x|-+2k＜x＜+2k,k∈Z}. 方法二 利用单位圆中的余弦线OM，依题意知0＜OM≤1, ∴OM只能在x轴的正半轴上， ∴其定义域为 . （2）要使函数有意义，必须使sinx-cosx≥0. 方法一 利用图象.在同一坐标系中画出［0,2］上y=sinx和y=cosx的图象，如图所示. 在［0，2］内，满足sinx=cosx的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2, 所以定义域为. 方法二 利用三角函数线， 如图MN为正弦线，OM为余弦线， 要使sinx≥cosx,即MN≥OM， 则≤x≤（在［0，2］内）. ∴定义域为 方法三 sinx-cosx=sin≥0， 将x-视为一个整体，由正弦函数y=sinx的图象和性质 可知2k≤x-≤+2k, 解得2k+≤x≤+2k,k∈Z. 所以定义域为. 例2 求下列函数的值域： （1）y=; (2)y=sinx+cosx+sinxcosx; (3)y=2cos+2cosx. 解 （1）y== =2cos2x+2cosx=2-. 于是当且仅当cosx=1时取得ymax=4,但cosx≠1, ∴y＜4，且ymin=-,当且仅当cosx=-时取得. 故函数值域为. （2）令t=sinx+cosx,则有t2=1+2sinxcosx, 即sinxcosx=. 有y=f(t)=t+=. 又t=sinx+cosx=sin， ∴-≤t≤. 故y=f(t)= (-≤t≤), 从而知：f(-1)≤y≤f(2),即-1≤y≤+. 即函数的值域为. （3）y=2cos+2cosx =2coscosx-2sinsinx+2cosx =3cosx-sinx =2 =2cos. ∵≤1 ∴该函数值域为［-2，2］. 例3 （14分）求函数y=2sin的单调区间. 解 方法一 y=2sin化成 y=-2sin. 1分 ∵y=sinu(u∈R)的递增、递减区间分别为 （k∈Z), (k∈Z), 4分 ∴函数y=-2sin的递增、递减区间分别由下面的不等式确定 2k+≤x-≤2k+（k∈Z), 即2k+≤x≤2k+（k∈Z), 8分 2k-≤x-≤2k+（k∈Z), 即2k-≤x≤2k+（k∈Z). 12分 ∴函数y=2sin的单调递减区间、单调递增区间分别为（k∈Z), （k∈Z). 14分 方法二 y=2sin可看作是由y=2sinu与u=复合而成的. 2分 又∵u=为减函数， ∴由2k-≤u≤2k+（k∈Z), -2k-≤x≤-2k+ (k∈Z). 即（k∈Z）为y=2sin的递减区间. 由2k+≤u≤2k+ (k∈Z), 即2k+≤-x≤2k+ (k∈Z)得 -2k-≤x≤-2k- (k∈Z), 即（k∈Z)为y=2sin的递增区间. 12分 综上可知：y=2sin的递增区间为 （k∈Z）； 递减区间为（k∈Z）. 14分 1.求f(x)=的定义域和值域. 解 由函数1-cos≥0,得sinx≤,利用单位圆或三角函数的图象，易得所求函数的定义域是 . 当sinx=cos=时，ymin=0; 当sinx=cos=-1时，ymax=. 所以函数的值域为［0，］. 2.已知函数f(x)=,求它的定义域和值域，并判断它的奇偶性. 解 由题意知cos2x≠0，得2x≠k+， 解得x≠（k∈Z）. 所以f(