上海交通大学附中214版《创新设计》高考数学一轮复习考前抢分必备单元训练：导数及其应用.doc

上海交通大学附中2014版《创新设计》高考数学一轮复习考前抢分必备单元训练：导数及其应用 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题　共60分) 一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若函数图象上任意点处切线的斜率为，则的最小值是( ) A． B． C． D． 【答案】A 2．曲线在点（1，1）处的切线方程为( ) A． B． C． D． 【答案】B 3．曲线在点P（1，0）处的切线与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是( ) A． B． C． D． 【答案】C 4．曲线y=x3+x-2在点P0处的切线平行于直线y=4x，则点P0的坐标是( ) A．(0,1) B．(1,0) C．(-1,-4)或（1,0） D．(-1,-4) 【答案】B 5．设，则的值为( ) A． B． C． D． 【答案】C 6．设函数f′（x）=x2+3x－4，则y=f（x+1）的单调递减区间为( ) A．（－4，1） B．（－5，0） C．（） D．（） 【答案】B 7．在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的增量x( ) A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不等于零 【答案】D 8．函数的定义域为，，对任意，，则的解集为( ) A．（，1） B．（，+） C．（，） D．（，+） 【答案】B 9．已知等差数列的前n项和为，又知，且，，则为 ( ) A．33 B．46 C．48 D．50 【答案】C 10．曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为( ) A．( 1 , 0 ) B．( 2 , 8 ) C．( 1 , 0 )或(－1, －4) D．( 2 , 8 )和或(－1, －4) 【答案】C 11．设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为( ) A． B． C． D． 【答案】A 12．曲线在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是( ) A．-9 B．-3 C．9 D．15 【答案】C 第Ⅱ卷(非选择题　共90分) 二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．函数y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则=____________ 【答案】 14．函数的单调增区间为 . 【答案】 15．曲线y=3x2与x轴及直线x＝1所围成的图形的面积为 ． 【答案】1 16．= 。 【答案】 三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3元和5元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？ 【答案】解法一：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点x km, 则 ∵BD=40,AC=50－,∴BC= 又设总的水管费用为y元，依题意有：=3(50－x)+5 y′=－3+,令y′=0,解得=30 在(0,50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义， 函数在=30(km)处取得最小值，此时AC=50－=20(km) ∴供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省. 解法二：设∠BCD=,则BC=,CD=, 设总的水管费用为f(θ),依题意，有 (θ)=3(50－40·cotθ)+5=150+40· ∴(θ)=40 令(θ)=0,得cosθ= 根据问题的实际意义，当cosθ=时，函数取得最小值，此时sinθ=,∴cotθ=, ∴AC=50－40cotθ=20(km),即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省. 18． 已知函数f(x)＝ax2＋blnx在x＝1处有极值． (I）求a，b的值； (II）判断函数y＝f(x)的单调性并求出单调区间． 【答案】(1)因为函数f(x)＝ax2＋blnx，所以f′(x)＝2ax＋．又函数f(x)在x＝1处有极值， 所以即解得 (2)由(1)可知f(x)＝x2－lnx，其定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝x－＝． 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： 所以函数y＝f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)． 19．设，向量，函数的图象经过坐标原