小学分数计算技巧.doc

“不正常”的分数计算 文/丁乙 摘自《课堂内外·智慧数学》（小学版） 同学们，在学习了分数的加、减、乘、除法以后，对于常规题目，我们能够运用四则运算的法则及运算顺序进行正确计算，但如果遇到一些“不太正常”的题目，我们除了可以运用运算定律和性质外，还需要根据数据的特征以及数与数之间的关系，运用一些特殊的技巧，化难为易。 例1 计算：2011× 【指点迷津】直接计算，非常麻烦。观察发现，2011与2012只相差1，可从这里突破。方法一：与1很接近，可以把看成1－，再运用分配律进行简算。方法二：由于2011与2012只相差1，所以可把2011看成（2012－1），再运用分配律进行简算。 方法1：原式＝2011×（1－） ＝2011－ ＝2010 方法2：原式＝（2012－1）× ＝2012×－1× ＝2011－ ＝2010 例2 计算：＋＋＋ 【指点迷津】若按常规方法计算，显然相当麻烦，并且不易算出正确结果。有没有较简单的方法呢？我们容易分析得到＝1－，＝－，＝－，…以此类推，所以这道题可以用拆项法来进行巧算。过程如下： 原式＝(1－)＋(－)＋(－)＋(－)＋(－) ＝1－＋－＋－＋－＋－ ＝1－ ＝ 例3 请在3个括号里填进一组互不相等的整数： 。 【指点迷津】一个一个地试，肯定费时又费力。如果我们知道一个有用的等式：，那就非常简单了。过程如下： 例4 在括号里填上不同的自然数，使1＝。 【指点迷津】乍一看此题，好像与例3差不多呢。虽然有点像，方法却截然不同哦。 第一步：1＝1－； 第二步：两项结合，即1＝（1－； 第三步：1＝。 （以此类推，1可以写成多个不同单位分数相加的和的形式。同学们不妨自己试一试吧。） 例5 计算：＋(＋)＋(＋＋)＋(＋＋＋)＋…＋(＋＋＋…＋) 【指点迷津】一看此题，大多数同学肯定先分别算出每个括号中的和，再算出最后的和。即： 原式＝＋1＋1＋2＋2＋3＋3＋…＋1005.5 ＝（＋1005.5）×2011÷2 ＝ 1011533 当然，这个结果是对的。但有没有更巧妙的方法呢？当然有！我们可以先将原式设为S，再将括号内的各项倒序排列，并设重新排列后的算式为。即： S=＋(＋)＋(＋＋)＋(＋＋＋)＋…＋(＋＋＋…＋)， S′＝＋(＋)＋(＋＋)＋(＋＋＋)＋…＋(＋＋＋…＋)， S+S′＝2S＝(1＋2＋3＋4＋…＋2011)＝(1＋2011)×2011÷2＝2023066， 所以，原式＝2023066÷2＝1011533。 这个方法叫做“倒序相加”。 例6 计算：＋＋＋＋＋＋ 【指点迷津】这道题看起来比例5简单多了。只不过，看似简单，它的计算方法可有好几种呢。 方法1：如图1，构造边长为1的正方形，由图可知，原式＝1－＝。 方法2：借来一个，从后往前算，再从最后的结果里还回去（减去）一个，就是原题的解。即： 原式＝＋＋＋＋＋＋＋－ ＝＋＋＋＋＋＋－ … ＝1－ ＝ 方法3：由于＝1－，＝－，＝－，…，＝－，所以有： 原式＝(1－)＋(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－) ＝1－＋－＋－＋－＋…＋－ ＝1－ ＝ 方法4：设A＝＋＋＋＋＋＋，则2A＝1＋＋＋＋＋＋。 2A－A＝(1＋＋＋＋＋＋)－(＋＋＋＋＋＋) A＝1－ ＝ 即＋＋＋＋＋＋＝。 看到这里，相信同学们已经学到了不少关于分数计算的技巧和方法了吧？大家在平时可要多多积累，以免“法到用时方恨少”哦！ 拆项的方法种类非常多。一般的拆项法有： （1）＝－ （2）＝－ （3）＝（－）