定稿第二章.doc

第二章 随机变量及其概率分布 随机事件的概率在一定程度上反映了随机现象的统计规律性.在这一章我们将随机试验的结果与实数对应起来，引进随机变量的概念，研究随机变量的概率分布，从而更全面地揭示随机现象的统计规律性. 本章的主要内容有：随机变量及其分布函数，离散型随机变量的分布律，连续型随机变量的概率密度，分布，二项分布，泊松分布，均匀分布，指数分布和正态分布等重要的概率分布以及简单的随机变量的函数的分布. § 1 随机变量及其分布函数 1.1 随机变量 在许多随机试验中，试验的结果可以直接用一个数值来表示，不同的结果对应着不同的数值.例如，投掷一颗骰子，观察出现的点数，可能的结果分别是这六个数值.如果我们用一个变量表示出现的点数，那么试验的所有可能结果都可以用的取值来表示，如“出现点”可以表示成，“出现点”可以表示成.这个变量随着试验的不同结果而取不同的数值. 有些试验的结果本身与数值无关，但同样可以用某个变量的取值来表示.例如抛掷一枚硬币，它的可能结果为“出现正面”或“出现反面” .我们引进变量，用表示“出现正面”，用表示“出现反面” . 一般地，我们有下面的定义. 定义1.1 设随机试验的样本空间为，如果对于每一个，都有唯一的实数与之对应，则称为随机变量. 由定义1.1可知，前面所说的和都是随机变量.下面再举几个随机变量的例子. （1）将一枚硬币抛掷次，用表示正面出现的次数，则是一个随机变量，它的所有可能取值为. （2）某篮球队员投篮，投中记分，未投中记分.用表示篮球队员一次投篮的得分，则是一个随机变量，它的所有可能取值为. （3）一个在数轴上的闭区间上作随机游动的质点，用表示它在数轴上的坐标，则是一个随机变量，它可以取和之间（包括和）的任何实数. 由于随机变量的取值依赖于随机试验的结果，因此,在试验之前我们只能知道它的所有可能取值，而不能预先知道它究竟取哪个值.因为试验的各个结果的出现都有一定的概率，所以随机变量取相应的值也有确定的概率.例如，在上面的中， , . 引入随机变量以后，就可以用随机变量来表示随机试验中的各种事件.例如在上面的中，事件“四次均未出现正面”可以用来表示，事件“正面至少出现两次”可以用来表示，事件“正面最多出现三次”可以用来表示.可见，随机变量是一个比随机事件更宽泛的概念. 随机变量依其取值的特点分为离散型和非离散型两类.如果随机变量的所有可能取值为有限个或可数无穷多个，则称为离散型随机变量，否则称为非离散型随机变量.研究随机变量，不仅要知道它能够取得哪些值，更重要的是要知道它的取值规律，即取到相应值的概率.随机变量的取值及其取值规律之间的对应关系称为随机变量的概率分布. 概率论的历史表明，引入随机变量的概念以后，概率论的研究中心就从随机事件转移到随机变量上来，概率论的发展也从古典概率时期跨越到分析概率时期. 随机变量的分布函数 随机变量是定义在样本空间上的单值实函数，它的取值是有确定的概率的，这是它与普通函数的本质差异.下面我们引进分布函数的概念，它是普通的一元函数，通过它我们可以利用数学分析的方法来研究随机变量. 定义1.2 设是一个随机变量， 为任意实数，函数 ， 1.1 称为随机变量的分布函数. 显然，随机变量的分布函数是定义在上的一元函数.如果将看成是数轴上随机点的坐标，则分布函数在处的函数值等于事件“随机点落在区间上”的概率. 对于任意实数，由于，所以 . （1.2） 可见，若已知随机变量的分布函数，就可以求出落在任一区间上的概率，这表明分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性. 分布函数具有下列性质： （1）单调性 若，则. （1.3） 事实上，若，则，所以. （2）有界性 对任意实数，有，且 ，. （1.4） 由以及概率的性质知.而从几何直观上，当时， “随机点落在区间上”这一事件趋近于不可能事件，因此；当时，“随机点落在区间上”这一事件趋近于必然事件，因此. （3）右连续性 对任意实数，有 （证明从略）. 需要指出的是，如果一个函数满足上述三条性质，则该函数一定可以作为某一随机变量的分布函数，因此，通常将满足上述三条性质的函数都称为分布函数. 抛掷一枚硬币，设随机变量 求： 随机变量的分布函数； 随机变量在区间上取值的概率. 解 （1）设是任意实数.当时，事件，因此 ; 当时，事件 因此 ； 当时，事件 ， 因此 . 综上所述，的分布函数为 （2）随机变量在区间上取值的概率为 . 例1.2 设随机变量的分布函数为 求常数以及概率. 解 由于分布函数是右连续的，所以 . 又 ， ， 因此.于是 进而 . 例1.3 向数轴上的闭区间上投掷随机点，假设随机点落在区间上任意一点的可能性相等，用表示随机点的坐标，求的分布函数. 解 这是直线上的几何概