第二讲 概率、随机变量及其分布列、期望与方差.doc

第一讲 概率、随机变量及其分布 列、期望与方差 查漏补缺 1.如图，三行三列的方阵中有九个数从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（ ） A. B. C. D. 2.在区间[-1，1]上随机取一个数,则的值介于0到之间的概率为（ ） A. B. C. D. 3.已知某次数学考试的成绩X近似服从正态分布 ，则在1000名考生中，成绩不在区间（90，130）内的考生数大约是（ ） A.3人 B.23人 C.46人 D.460人 4. 2010年高考全国 某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（ ） A.100 B.200 C.300 D.400 5. 2010年福建 某次知识竞赛规则如下：在主办预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮，假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于 。 主干整合 1.概率 （1）古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型： ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； ②每个基本事件出现的可能性相等。 古典概型的概率公式 对于古典概型，任何事件的概率为 。 （2）几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。 几何概型中，事件A的概率计算公式 （3）互斥事件有一个发生的概率。 推广：若事件两两互斥，则 （4）相互独立事件同时发生的概率 （5）独立重复试验 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么它在次独立重复试验中恰好发生次的概率为。 （6）条件概率 在事件A发生的条件下，事件B发生的概率记为，其计算公式为。 2.离散型随机变量的分布列及数字特征 （1）离散型随机变量的分布列 ①设离散型随机变量X可能取的值为取每一个值 的概率为 则称下表： 为离散型随机变量X的分布列。 ②离散型随机变量X的分布列具有两个性质： ③二项分布 在次独立重复试验中，事件发生的次数是一个随机变量，其所有可能取的 值为，并且。 显然。 称这样的随机变量。 ④超几何分布 在含有件次品的N件产品中，任取件，其中恰有件次品， 则且。 称分布列 为超几何分布列，称服从超几何分布。 （2）离散型随机变量的均值与方差 ①若离散型随机变量的分布列为 则称为的均值或数学期望，简称期望。 叫做随机变量的方差。 ②若。 ③若服从参数为的超几何分布，则。 （3）正态分布 ①如果随机变量的概率密度为称的分布服从参数为的正态分布用表示。 ②正态总体在三个特殊区间内取值的概率 a. b. c. ③原则 由于正态变量在内取值的概率是1，由上所述，容易推出，它在区间之外取值的概率是4.6%，在区间之外取值的概率是0.3%。于是正态变量的取值几乎都在距三倍标准差之内，这就是正态分布的原则，原则常常用在生产过程的质量控制中。 例题分析 【例1】 （1）箱中将有15张大小、重量一样的卡片，每张卡片正面分别标有1到15中的一个号码，正面号码为的卡号反面标的数字是 卡片正反面用颜色区分 。如果任意取出一张卡片，则正面数字大于反面数字的概率等于（ ） A. B. C. D. 2 甲、乙两人约定上午7：00到8：00之间到某个汽车站乘车，在这段时间内有3班公共汽车，他们开车的时刻分为7：20，7：40，8：00，如果他们约定，见车就乘，则甲、乙两人同乘一班车的概率为（ ） A. B. C. D. 二、互斥事件与相互独立事件概率的综合应用 【例2】 设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5. （1）三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率； （2）若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率。 三、概率与随机变量的综合问题 【例3】 在某学校组织一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次：在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率为0.25，在处的命中率为，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为 0 2 3 4 5 0.03 （1）求的值； （2）求随机变量的数学期望； （3）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选拔上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。 四、正态分布 【例4】 若随机变量 。 培训练习 1.从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则