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级数_百度百科 级数_百度百科 1qaz2wsx3edcbh 实习小编　一级|消息(3)|我的百科|我的知道|百度首页 | 退出我的百科我的贡献草稿箱我的任务为我推荐 新闻网页贴吧知道MP3图片视频百科文库 帮助设置 首页 自然 文化 地理 历史 生活 社会 艺术 人物 经济 科技 体育 核心用户 五周年 NBA 拆分词条 级数 百科名片 级数理论是分析学的一个分支；它与另一个分支微积分学一起作为基础知识和工具出现在其余各分支中。二者共同以极限为基本工具，分别从离散与连续两个方面，结合起来研究分析学的对象，即变量之间的依赖关系──函数。 目录 简介 详细说明 理论介绍 正项级数 单调正项级数 正项级数的运算 交错级数 绝对收敛的级数 黎曼定理 函数级数 一致收敛的级数 函数的级数展开 渐近级数 发散级数 简史 参考书目简介 详细说明 理论介绍 正项级数 单调正项级数 正项级数的运算 交错级数 绝对收敛的级数 黎曼定理函数级数一致收敛的级数函数的级数展开渐近级数发散级数简史参考书目展开 编辑本段简介 　　级数 　　series 　　将数列un的项 u1，u2，…，un，…依次用加号连接起来的函数。数项级数的简称。如：u1＋u2＋…＋un＋…，简写为∑un,un称为级数的通项，记Sm=∑un称之为级数的部分和。如果当m→∞时 ，数列Sm有极限S，则说级数收敛，并以S为其和，记为∑un=S；否则就说级数发散。 　　级数是研究函数的一个重要工具，在理论上和实际应用中都处于重要地位，这是因为：一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数， 微分方程的解就常用级数表示；另一方面又可将函数表为级数，从而借助级数去研究函数，例如用幂级数研究非初等函数，以及进行近似计算等。 编辑本段详细说明 　　级数的收敛问题是级数理论的基本问题。从级数的收敛概念可知，级数的敛散性是借助于其部分和数列Sm的敛散性来定义的。因此可从数列收敛的柯西准则得出级数收敛的柯西准则 ：∑un收敛＜＝＞任意给定正数ε，必有自然数N，当n＞N，对一切自然数 p，有｜un+1＋un+2＋…＋un+p｜＜ε，即充分靠后的任意一段和的绝对值可任意小。 　　如果每一un≥0（或un≤0），则称∑un为正（或负）项级数，正项级数与负项级数统称为同号级数。正项级数收敛的充要条件是其部分和序列Sm 有上界，例如∑1/n！收敛，因为 　　Sm=1+1/2!+1/3!+···+1/m!1+1+1/2+1/2^2+···+1/2^(m-1)3(2^3表示2的3次方)。 　　有无穷多项为正，无穷多项为负的级数称为变号级数，其中最简单的是形如∑[(-1)^(n-1)]*un(un0)的级数，称之为交错级数。判别这类级数收敛的基本方法是莱布尼兹判别法 ：若un ≥un+1 ，对每一n∈N成立，并且当n→∞时lim un=0，则交错级数收敛。例如∑[(-1)^(n-1)]*(1/n)收敛。对于一般的变号级数如果有∑|un|收敛，则称变号级数绝对收敛。如果只有 ∑un收敛，但是∑|un|发散，则称变号级数条件收敛。例如∑[(-1)^(n-1)]*(1/n^2)绝对收敛，而∑[(-1)^(n-1)]*(1/n)只是条件收敛。 　　如果级数的每一项依赖于变量x,x 在某区间I内变化,即un＝un(x),x∈I，则∑un(x)称为函数项级数,简称函数级数。若x＝x0使数项级数∑un(x0)收敛，就称x0为收敛点，由收敛点组成的集合称为收敛域，若对每一x∈I，级数∑un(x)都收敛，就称I为收敛区间。显然，函数级数在其收敛域内定义了一个函数，称之为和函数S(x)，即S(x)=∑un(x)如果满足更强的条件，Sm(x)在收敛域内一致收敛于S(x)。 　　一类重要的函数级数是形如∑an(x-x0)^n的级数，称之为幂级数 。它的结构简单 ，收敛域是一个以为中心的区间（不一定包括端点），并且在一定范围内具有类似多项式的性质，在收敛区间内能进行逐项微分和逐项积分等运算。例如幂级数∑(2x)^n/x的收敛区间是[-1/2,1/2]，幂级数∑[(x-21)^n]/(n^2)的收敛区间是[1，3]，而幂级数∑(x^n)/(n!)在实数轴上收敛。 　　还有一类非常常用的级数是傅里叶级数。 编辑本段理论介绍 　　在微积分学中基本变量是一般的连续变量 x（代表具体的变量如时间t、路程s，质量m等等）,取值于这个或那个区间，极限过程也是多种多样的；在级数理论中基本变量就是离散变量n，其值为全体自然数:n=1,2,3,…。这里极限过程只有唯一的一个,即n无限增长，趋向无限:n→∞。这