2014年自主招生数学模拟试题(卓越联盟)参考答案.doc

2014年“卓越联盟”自主招生数学模拟试题参考答案 一、选择题（本大题共小4题，每小题5分，共20分） 1.没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除的概率为（ ） （A） （B） （C） （D）个。 被3整除余1的有：1，4，7,被3整除余2的有：2，5，8, 被3整除的有：0，3，6，9。 所有能被3整除的数共有：个。 被3整除的概率：，不能被3整除的概率为： 答案： 选B。 2．在四面体中， 设，直线与的距离为，夹角为，则四面体的体积等于（ ） (A) (B) (C) (D) 解：如图，把四面体补成平行六面体， 则此平行六面体的体积 而四面体的体积×平行六面体体积． 答案：选B． 3.已知，设 则的大小关系为（ ） ， ， ， 解：由 ，所以 由，知，故 由知， 故. 所以 答案：选D 4.函数对任意的实数，只要，就有成立，则函数是奇偶性为（ ） A．奇函数； B. 偶函数； C. 即是奇函数又是偶函数； D. 即不是奇函数又不是偶函数。 解：因为， 所以其中 所以， 所以所以 所以所以. 又因为 所以因此，. 答案： 二、填空题（本大题共小4题，每小题6分，共24分） 5．设为实数，且满足则 . 答案：2 解：原方程组即 令，． 故单调增，又 6．设点在(的内部，且有，则(的面积与(的 面积的比为 . 答案：3 解：延长到，使得；延长到，使得； 如图，设，则， ． ，所以． 7．设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 答案： 解：因为是定义在R上的奇函数，且当时，， 所以，故有， 故 因为是R上的增函数，所以 8．已知椭圆的左右焦点分别为与，点在直线上. 当取最大值时，比的值为 ． 解：由平面几何知，要使最大，则过三点的圆必定和直线相切于点． 直线交轴于，则，即，即 ⑴ 又由圆幂定理， ⑵ 而，， 从而有． 代入⑴，⑵得，． 三、解答题：本大题共小4题。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.（本题13分）在中，角A、B、C对边分别为。证明： 证明：方法1：由正弦定理得 左边= =右边 到第一个“=”右边的式子3分，到第二个“=”每个右边的式子5分，到第三个“=”每个右边的式子10分，到最后给13分 方法2：右边 ==左边 方法3：要证： 需证： 需证： 需证：= 需证：= 而上式显然成立，故命题得证。 10.（本题13分）对于任意一个非零复数，定义集合 （1）设是方程的一个根，试用列举法表示集合，若在中任取两个数，求其和为零的概率； （2）设复数，求证 解：（1）因为是方程的根 2分 当时， 4分 当时， 因此，不论取哪一个值，集合是不变的，即 6分 于是 8分 （2）证明：，存在，使得 10分 于是对任意， 由于是正奇数，，所以 13分 11.（本题15分）数列满足. （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）证明其中无理数=2.71828…. 证明：（Ⅰ）（1）当2时，，不等式成立. （2）假设当时不等式成立，即 那么. 这就是说，当时不等式成立. 根据（1）、（2）可知：成立. 4分 （Ⅱ）证法一： 由递推公式及（Ⅰ）的结论有 7分 两边取对数并利用已知不等式得 故 12分 上式从1到求和可得 即 15分 （Ⅱ）证法二： 由数学归纳法易证成立，故 令 取对数并利用已知不等式得： 上式从2到求和得 因 故成立。 12.（本题15分）在△中，且求证边所在直线恒过一定点。 解：欲证直线过定点，只要说明方程是过两条定直线交点的直线系方程。 以为坐标原点，直线为轴建立坐标系，设 则.