圆锥曲线中的求轨迹题型大汇总(推荐).doc

一、直接法题型： 例1 已知直角坐标系中，点Q（2，0），圆C的方程为，动点M到圆C的切线长与的比等于常数，求动点M的轨迹。 解：设MN切圆C于N，则。设,则 化简得 当时，方程为，表示一条直线。 当时，方程化为表示一个圆。 说明：求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。 变式： 如图，圆与圆的半径都是1，，过动点P分别作圆、圆的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得．试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程． 解：以的中点O为原点，所在的 直线为轴，建立平面直角坐标系， 则 由已知可得： 因为两圆的半径均为1，所以 设，则，即 所以所求轨迹方程为：（或） 练习：（待定系数法题型）在中，，且的面积为1，建立适当的坐标系，求以M，N为焦点，且过点P的椭圆方程。 二、定义法题型： 例2 如图，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑，挖出的土只能沿AP、BP运到P处，其中AP 100m，BP 150m，∠APB 600，问怎能样运才能最省工？ 解：半圆上的点可分为三类：一是沿AP到P较近，二是沿BP到P较近，三是沿AP或BP一样近。其中第三类的点位于前两类的分界线上，设M为分界线上的任一点，则有，即，故M在以A，B为焦点的双曲线的右支上。建立如图直角坐标系，得边界的方程为,故运土时为了省工，在双曲线弧左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处，在曲线上面的土两边都可运。 说明：利用双曲线的定义可直接写出双曲线方程。 练习： 已知圆O的方程为 x2+y2 100,点A的坐标为（-6，0），M为圆O上任一点，AM的垂直平分线交OM于点P，求点P的方程。 解：由中垂线知，故，即P点的轨迹为以A、O为焦点的椭圆，中心为（-3，0），故P点的方程为 三、代入法题型： 例3 如图，从双曲线x2-y2 1上一点Q引直线x+y 2的垂线，垂足为N。求线段QN的中点P的轨迹方程。 解：设动点P的坐标为（x,y）,点Q的坐标为（x1,y1） 则N（ 2x-x1,2y-y1）代入x+y 2,得2x-x1+2y-y1 2 ① 又PQ垂直于直线x+y 2，故，即x-y+y1-x1 0 ② 由①②解方程组得, 代入双曲线方程即可得P点的轨迹方程是2x2-2y2-2x+2y-1 0 练习：已知曲线方程f x,y 0.分别求此曲线关于原点，关于x轴，关于y轴，关于直线y x，关于直线y -x，关于直线y 3对称的曲线方程。 f -x,-y 0,f x,-y 0,f -x,y 0,f y,x 0,f -x,-y 0，f x,6-y 0 四、参数法与点差法题型： 例4 经过抛物线y2 2p x+2p p 0 的顶点A作互相垂直的两直线分别交抛物线于B、C两点，求线段BC的中点M轨迹方程。 解：A（-2p,0）,y k x+2p k0 .与抛物线方程联立方程组可解得B点的坐标为，由于AC与AB垂直，则AC的方程为，与抛物线方程联立方程组可解得C点的坐标为，又M为BC中点，设M（x,y）,，消去k得y2 px,即点M的轨迹是抛物线。 五、交轨法与几何法题型 例5 抛物线的顶点作互相垂直的两弦OA、OB，求抛物线的顶点O在直线AB上的射影M的轨迹。（考例5） 解1（交轨法）：点A、B在抛物线上，设A（，B（所以kOA kOB ,由OA垂直OB得kOA kOB -1，得yAyB -16p2 ,又AB方程可求得，即（yA+yB）y--4px--yAyB 0,把 yAyB -16p2代入得AB方程（yA+yB）y--4px+16p2 0 ① 又OM的方程为 ② 由①②消去得yA+yB即得， 即得。 所以点M的轨迹方程为，其轨迹是以为圆心，半径为的圆,除去点（0，0）。 说明：用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得到交点的两个坐标间的关系即可。交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。 解2（几何法）：由解1中AB方程（yA+yB）y--4px+16p2 0 可得AB过定点（4p,0）而OM垂直AB，所以由圆的几法性质可知：M点的轨迹是以为圆心，半径为的圆。所以方程为，除去点（0，0）。 六、点差法： 例6（2004年福建，22）如图，P是抛物线C：上一点，直线过点P且与抛物线C交于另一点Q。若直线与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程。（图见教材P129页例2）。 解：设 由 （1） 得，过点P的切线的斜率， 直线的斜率，直线的方程为　　　　（2） 方法一、（利用韦达定理、中点坐标公式）联立（1）（2）消去得， M为PQ的中点， 消去 PQ中点为M的轨迹方程为 方法二（点差法）由 得 则。 将上式代入（2）并整理，得 PQ中点为M的轨