§10.2二重积分的计算(修改).doc

§10.2二重积分的计算 修改 110.2一、利用直角坐标系计算二重积分 二、利用极坐标系计算二重积分 三、二重积分的一般变量代换2积分区域为D其中函数、在区间 上连续. 1x一、利用直角坐标系计算二重积分型区域 2x y abD 1xyDba 2x y 1xy3xb ad ] [曲顶柱体体积 曲顶柱的底为         bxa xyx yxD , 2 1任取 平面 故曲顶柱体体积为 xfVd , 截面积为yyxfx xd , 2 1 b ax xAd 截柱体的 2xy 1xyzxyo ab0xDDyxfVd , 4dydxyxfdyxfD d c y y] , [ , 2 1    Ⅱ积分区域为D,dyc . 21yxy Y型区域 2yx 1yxDcdcd 2yx 1yxD5oxy说明: 1 若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域, Dyxyxfdd , 为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. 2xyxoyDba 1yx 2yxdc则有x 1xyyyyxfx xd , 2 1  b ax dxyxfy yd , 21 d cy d 2 若积分域较复杂,可将它分成若干1D2D3DX-型域或Y-型域, 321DDDD则6二重积分定限口诀 2xyab D 1xy 2yx 1yxDcd. , , 2 1D b a x xdy yxfdxdyxf  . , , 2 1D d c y ydx yxfdydyxf Y型区域 X型区域后积先定限中间划根线先交是下限后交是上限。7例1 求Ddxdyyx 2其中 D是由抛物线2x y和2yx所围平面闭区域.解两曲线的交点 ,1,1 , 0,0 2 2      yx xy 2x y2yxX型     xyx x D21 0 :Ddxdy yx 21 0 22 x xdy yxdxdxxxxxx ] 2 1 [42 1 0 2. 140 33 8 2x y2yxY型       yxy y D21 0 :Ddxdy yx 2dydxyxy y 1 0 2 2 ] [. 140 33 方法二9 所围成的闭区域。 及是由抛物线其中计算 2 ,2   xy xyDxydD例2解如图将D作Y型   22 12 y y D xydxdyxyddy yyy dyy xy y           2 1 52 2 2 1 2] 2 [ 2 1 228 5 5] 6 2 3 4 4 [ 2 12 1 6 23 4 y yy y 2,4-1 22y x2yx 1,1xy yx后先10例3. 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.xyzR Ro解: 设两个直圆柱方程为,2 22Ryx利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为 则所求体积为2 2 0dx RyxxRRd 80 22 33 16 R2 22Rzx22xRz      0 0 : , 2 2Rx xRy Dyxx xRRd80 22 11例4. 计算,dd sin Dy x x x其中D 是直线 所围成的闭区域.oxyD xxy解:由被积函数可知,因此取D 为X –型域:    x xy D 0 0 : Dy x x x dd sinxy0d0d sinxx2 0d sin x x x先对x积分不行, 说明:有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.12xy1例5 改变积分 xdyyxfdx1 0 1 0 , 的次序. 解积分区域如图     xy x D 10 10 :X型将D改写成     yx y D 10 10 :Y型D , dxdyyxf还原原式ydxyxfdy1 0 1 0 , 换序13xy222xxy例6 改变积分xxxdyyxfdxdyyxfdx2 0 2 1 2 0 1 0 , , 2的次序. 解积分区域如图21DDD1D2D    2 12 0 10 : xxy x D   