高等数学第六版(同济版)第九章复习题材.doc

第九章 多元函数微分法及其应用 引入：在上册书中，我们学习了一元函数微积分学，所讨论的对象都只有一个自变量的函数，而在实际应用中，研究的问题往往要涉及多方面的因素，反映在数量上就是一个变量要依赖几个自变量，即数学上的多元函数，从这节课开始，我们进入多元函数微积分学的学习阶段.先来学习多元函数微分学. 由于从一元函数到二元函数，单与多的差异已能充分体现，我们由二元函数入手来研究多元函数微分学，然后把相关概念及性质推广到三元、四元直至元函数上去. 第一节 多元函数的基本概念 一、平面点集的相关概念 1. 平面点集：具有性质 例如：，其中点表示点. 2. 邻域：. (1). 邻域： (2). 去心邻域： 3. 坐标面上的点与平面点集的关系： (1). 内点：若，使，则称为的内点. (2). 外点：若，使，则称为的外点. (3). 边界点：若，，且，则称为的边界点. 边界：的边界点的全体称为它的边界，记作. (4). 聚点：若，，则称为的聚点. 导集：的聚点的全体称为它的导集. 注：1°. 若为的聚点，则可以属于，也可以不属于. 2°. 内点一定是聚点；外点一定不是聚点；边界点也不总是聚点，如孤立的边界点. 例如：；. 4. 一些常用的平面点集： (1). 开集：若点集的点都是其内点，则称为开集. (2). 闭集：若点集的边界，则称为闭集. (开集加边界) (3). 连通集：若中任何两点都可用属于的折线连接，则称为连通集. (4). 开区域：连通的开集称为开区域，也称为区域. (5). 闭区域：开区域加上其边界称为闭区域. 例如：为区域. 为闭区域. (6). 有界集：若，使，则称为有界集. (7). 无界集：若，使，则称为无界集. 二、维空间：对取定的自然数，称元数组的全体为维空间，记为. 注：前述的邻域、区域等相关概念可推广到维空间. 三、多元函数的概念 1. 定义：，或，其中. 因 映 自 变 变 量 射 量 定义域：. 值 域：. 注：可推广：元函数：，. 例: 1. ，. 2. ，. 2. 几何表示：函数对应空间直角坐标系中的一张曲面:. 四、二元函数的极限 1.定义：设函数的定义域为，点为的聚点，若，，，，满足，则称为当时的极限，记作，称之为的二重极限. 例1. 设，求证. 证明：，要使不等式 成立，只须取， 于是，，，，总有，即 . 例2.沿直线趋于时，总有 ， 随着的不同而趋于不同的值，故极限不存在. 例3. 求极限. 解：. 五、二元函数的连续性 1. 二元函数的连续性:设函数的定义域为，点为的聚点，且，若，则称在点连续. 2. 二元函数的间断点: 设函数的定义域为，点为的聚点，若在点不连续，则称为的间断点. 注：间断点可能是函数有定义的孤立点或无定义的点. 3. 性质：设为有界闭区域. (1). 有界性：， ，有. (2). 最值性：，使得，有. (3). 介值性：，，使得. 4. 二元连续函数的运算性质 (1). 和、差、积仍连续； (2). 商 (分母不为零) 连续； (3). 复合函数连续. 5. 二元初等函数及其连续性 (1). 二元初等函数：由二元多项式和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合所构成的、并用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数. (2). 二元初等函数在其定义区域内连续. 例4.，则. 例5. 1. 偏导数：设函数在点的某邻域内有定义，把暂时固定在，而在处有增量时，相应地有增量.若极限存在，则称此极限值为函数在点处对的偏导数，记为；；或. 注: 1°. . 2°. . 2. 偏导函数：若函数在区域D内每一点处对或偏导数存在，则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数，记为或；或. 注：可推广：三元函数在点处对的偏导数定义为 . 例1.在处的偏导数. 解：先求偏导函数：，. 再求偏导数：，. 例2.的偏导数. 解：，. 例3.的偏导数. 解：.由轮换对称性可知，. 3. 偏导数的几何意义 (1). 偏导数是曲线在点处的切线关于轴的斜率. (2). 偏导数是曲线在点处的切线关于轴的斜率. 4. 函数偏导数存在与函数连续的关系：函数偏导数存在与函数连续之间无必然的蕴含关系. (1). 函数在点处偏导数存在，但它在点却未必连续. 例如：函数在点的两个偏导数都存在，即 ， . 但二重极限不存在，故在点不连续. (2). 函数在点连续，但它在点处却未必存在偏导数. 例如：函数在点连续，但它在点对及的偏导数都不存在，这是因为：， ， 即在点对及的偏导数都不存在. 二、高阶导数 1.二阶偏导数：若函数对及的偏导数及对及的偏导数也存在，则称它们是函数的二阶偏导数. 记作：； ；(二阶纯偏导数) ；. (二阶混合偏导数) (二阶纯偏导数) 注：1°. 一般地，二元函数的阶