高考数学(理科)必考题型过关练：专题3第12练函数的零点——关键抓住破题题眼题材.doc

第12练　函数的零点——关键抓住破题题眼 题型一　函数零点所在区间问题 例1　函数f x ＝＋ln 的零点所在的大致区间是 A． 1,2 B． 2,3 C． 3,4 D． 1,2 与 2,3 破题切入点　确定函数在区间端点处函数值的符号是否相反，根据零点存在性定理判断零点所在区间． 答案　B 解析　f x ＝＋ln ＝－ln x－1 ， 函数的定义域为 1，＋∞ ． 当1 x 2时，ln x－1 0， 0， 所以f x 0，故函数在 1,2 上没有零点． f 2 ＝－ln 1＝1 0， f 3 ＝－ln 2＝＝， 因为＝2≈2.828， 所以 e， 故 ln e ln ， 即1 ln 8， 所以2 ln 8，即f 3 0， f 4 ＝－ln 3＝－ln 3 0. 根据零点存在性定理，可知函数f x 在 2,3 上必存在零点，故选B. 题型二　函数零点个数问题 例2　已知f x＋1 ＝f x－1 ，f x ＝f －x＋2 ，方程f x ＝0在[0,1]内有且只有一个根x＝，则f x ＝0在区间[0,2 014]内根的个数为 A．1 006 B．1 007 C．2 013 D．2 014 破题切入点　由条件推出f x 是周期等于2的周期函数，且关于直线x＝1对称．根据f ＝0，可得f ＝0，从而得到函数f x 在一个周期内的零点个数，最后得到f x ＝0在区间[0,2 014]内根的个数． 答案　D 解析　由f x＋1 ＝f x－1 ，可知f x＋2 ＝f x ， 所以函数f x 的周期是2. 由f x ＝f －x＋2 ，可知函数f x 关于直线x＝1对称， 因为函数f x ＝0在[0,1]内有且只有一个根x＝， 所以函数f x ＝0在区间[0,2 014]内根的个数为2 014，故选D. 题型三　由函数零点求参数范围问题 例3　函数f x 是定义在R上的偶函数，且满足f x＋2 ＝f x ．当x∈[0,1]时，f x ＝2x.若在区间[－2,3]上方程ax＋2a－f x ＝0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________． 破题切入点　由条件得出函数性质，准确画出图象，结合图象解决． 答案　 a 解析　由f x＋2 ＝f x 得函数的周期是2. 由ax＋2a－f x ＝0得f x ＝ax＋2a， 设y＝f x ，y＝ax＋2a，作出函数y＝f x ，y＝ax＋2a的图象， 如图， 要使方程ax＋2a－f x ＝0恰有四个不相等的实数根， 则直线y＝ax＋2a＝a x＋2 的斜率满足kAH a kAG， 由题意可知，G 1,2 ，H 3,2 ，A －2,0 ， 所以kAH＝，kAG＝， 所以 a . 总结提高　 1 确定零点所在区间主要依据就是零点存在性定理，而函数零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间两端点处的函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件而不是必要条件，所以在判断函数在某个区间上不存在零点时，不能完全依赖函数的零点存在性定理． 2 函数零点个数判断问题可直接解方程f x ＝0，方程的根的个数就是函数零点的个数，对于无法求解的函数应根据函数的单调性与函数值的符号变化来确定其零点的个数． 3 分段函数与零点的结合是比较新颖的一类问题，解决此类问题需注意两个方面：一是分段函数中的每个解析式所对应自变量的取值范围，解方程之后要注意检验根是否在所给定的取值范围中；二是灵活利用函数性质确定零点的个数，灵活利用特殊函数值的符号判断零点所在的范围． 1．f x ＝2sin πx－x＋1的零点个数为 A．4 B．5 C．6 D．7 答案　B 解析　∵2sin πx－x＋1＝0，∴2sin πx＝x－1，图象如图所示，由图象看出y＝2sin πx与y＝x－1有5个交点， ∴f x ＝2sin πx－x＋1的零点个数为5. 2．设函数f x ＝4sin 2x＋1 －x，则在下列区间中函数f x 不存在零点的是 A．[－4，－2] B．[－2,0] C．[0,2] D．[2,4] 答案　A 解析　f 0 ＝4sin 1 0，f 2 ＝4sin 5－2，由于π 5 2π， 所以sin 5 0，故f 2 0，则函数在[0,2]上存在零点； 由于f －1 ＝4sin －1 ＋1 0，故函数在[－1,0]上存在零点，也在[－2,0]上存在零点； 令x＝∈[2,4]， 则f ＝4sin －＝4－＝ 0， 而f 2 0，所以函数在[2,4]上存在零点．选A. 3．定义在R上的奇函数f x ，当x≥0时，f x ＝则关于x的函数F x ＝f x －a 0 a 1 的所有零点之和为 A．1－2a B．2a－1 C．1－2