王学民《概率论与数统计》第二章课件.ppt

1.均匀分布 如果连续型随机变量X具有如下的概率密度函数 则称X服从[a, b]上的均匀分布，记作X~U[a, b]。X的分布函数为 图2.4.4 均匀分布U[a, b]的密度曲线 图2.4.5 均匀分布U[a, b]的分布函数曲线 均匀分布具有下述意义的等可能性。若X~U[a, b]，则X落在[a, b]内任一子区间[c, d]上的概率： 只与区间[c, d]的长度有关，而与它的位置无关。 例2.4.4 假定某线路的公共汽车每隔10分钟到某车站一次，那么乘客来到该车站候车的时间X就服从[0, 10]上的均匀分布，由此可计算出他等候的时间不超过l 0≤l≤10 分钟的概率为 例2.4.5 在数值计算中，设由于四舍五入引起的误差为随机变量X，如果小数点后面第三位按四舍五入处理，试求： 1 X的密度函数和分布函数； 2 P 0.002 X 0.005 。 2.正态分布 设连续型随机变量X的密度函数为 其中μ, σ 0为常数，则称X服从参数为μ, σ2的正态分布，且称X为正态变量，记作X~N μ, σ2 。 正态分布最早是由法国数学家德·莫弗 De Moivre，1667~1754 于1733年提出的。德国数学家高斯 C.F.Gauss，1777~1855 在研究误差理论时曾用它来刻画误差，因此有时也称为高斯分布。 图2.4.6 正态分布的密度曲线 图2.4.7 不同μ的正态密度曲线 图2.4.8 不同参数σ2的正态分布密度曲线 正态分布的分布函数为 图2.4.9 正态分布的分布函数曲线 μ 0, σ 1的正态分布，称为 标准正态分布。其密度函 数和分布函数分别为： 图2.4.10 Φ x 值 图2.4.11 Φ ?x 1?Φ x 图2.4.12 Φ b ?Φ a 若X~N μ, σ2 ，则 服从标准正态分布，即U~N 0, 1 。于是， 例2.4.7 已知某种蔬菜的单棵重量服从正态分布，μ为140克，σ为12.2克。今随机抽出一棵，试问其重量不小于130克的概率是多少？ 标准化变换 例2.4.8 设X~N μ, σ2 ，试求X落在区间 μ?kσ, μ+kσ 内的概率，其中k 1, 2, 3, 4。 解 对k 1, 2, 3, 4分别得 P |X?μ| σ 2Φ 1 ?1 0.6826 P |X?μ| 2σ 2Φ 2 ?1 0.9545 P |X?μ| 3σ 2Φ 3 ?1 0.9973 P |X?μ| 4σ 2Φ 4 ?1 0.99994 例2.4.9 在某年举行的高等教育大专文凭认定考试中，已知某科的考生成绩X~N μ, σ2 ，及格率为40%, 80分以上的占5%，试确定参数μ和σ。 设X~N 0,1 ，对于给定的正数α，0 α 1，满足条件 的数值uα称为标准正态分布的上α分位数，如图2.4.13所示。由φ x 图形的对称性知，u1?α ?uα。称u1?α为标准正态分布的下α分位数。 图2.4.13 标准正态分布的上α分位数 3.指数分布 如果随机变量X的概率密度函数为 其中λ 0为常数，则称X服从参数为λ的指数分布，记为X~E λ 。X的分布函数为 图2.4.14 指数分布E λ 的密度曲线 图2.4.15 指数分布E λ 的分布函数曲线 指数分布常用来描述完成一项任务所花费的时间。例如，某些电子元器件的寿命、电话的通话时间、排队等候服务的时间、到达一洗车处的两辆车间隔时间等都常假定服从指数分布。 连续型的指数分布与离散型的泊松分布之间有着密切的关系。如果在规定的时间间隔内某种产品受到外界的随机冲击次数服从泊松分布，则它受到外界相邻两次冲击之间的时间间隔长度 当它受到外界一次冲击即失效时，可看作是产品寿命 服从指数分布。 指数分布有一个称作“无记忆性”的重要性质。设产品寿命X~E λ ，已知产品已工作了s个单位时间，则它还能再工作t个单位时间的条件概率 P X s+t|X s P X t 证明 例2.4.11 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X 以分计 服从指数分布，其密度函数 某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开。他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数。试求： 1 Y的概率分布； 2 P Y≥1 。 §2.5 随机变量函数的分布 一、X是离散型随机变量的情形 二、X是连续型随机变量的情形 一、X是离散型随机变量的情形 设X是离散型随机变量，其分布律为 如果诸g xk 的值全不相等，则Y g X 的分布律为 如果g xk k 1, 2, ? 中存在两个或两个以上的值相等，则把那些相等的值合并起来，并根据概率的可加性将对应的概率相加，就得到