第六节行列式按行(列)展开2010-3-15.doc

第六节 行列式按行 列 展开 教学目的：理解并掌握行列式按行（列）展开的相关性质；能与行 列式性质一起熟练运用于行列式的计算与证明. 教学方法：讲授与指导练习相结合 教学过程： 一、余子式与代数余子式 引例 ． 1.的余子式──在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的元素按原有位置构成的阶行列式． ２.的代数余子式──． 显然，行列式的每一个元素对应一个余子式和一个代数余子式． 例1 设,则 , ; , ； , . 提问：（1）在中，若第一行只有第一个元素非零，将会出现什么结果？ 答案 ； （2） . 二、行列式按行 列 展开法则 【引理】 一个 n 阶行列式，如果中第行 列 所有元素除外都为零,那么. 证明: ① 当位于第一行第一列时, ; ② 一般情形, 把第行依次与第行，第行，……第1行进行相邻对调 得 再把第列依次与第列，第列，……第1列进行相邻 对调得 . 【定理3】行列式等于它的任一行 列 的各元素与其对应的代数余子 式乘积之和.即 . 证明: . 或 . 例2 设 ， 求 及 的值 . 解 【】 . ＝ . 例3（1） . （2）计算行列式 解 . （3） 设行列式 计算 的值. 解： . 例4 计算行列式 解 加行加列得 【将上述箭形行列式化为三角形行列式】 ＝. 此题还有其他算法吗？ 提问：设，则 0 . 另解 当时，0， 当时，＝0. 提问： 设 ，则 . 分析：此题将各行加给第一行后提取公因式，再用新的第一行 乘以（－1）加给其余各行变为三角形行列式求值. 答案： 例5 证明 范德蒙德（）行列式 . 证明 利用数学归纳法.因为 ，即当＝2时结论成立. 假设结论对－1阶范德蒙行列式成立，为此将降阶 . 提问：设 ，则方程 的根为 ？ .那是因为由范德蒙德行列式定义知 所以 结论. 【推论】行列式任一行 列 的元素与另一行 列 的对应元素的代数 余子式乘积之和等于零，即 . 证明: 已知 ， 于是 ，. 同理 . 重要结论：，. （前者是按列展开，后者是按第行展开.） 提问：四阶行列式的第二行元素分别为；第四行对应元素的代数余子式值分别为，求的值. 解：由定理3的推论知 . 例6 计算阶行列式 【循环行列式：各行加给第一行，再提取公因式得】 解 【注意相邻列的关系从最后一列开始，每一列减去前面相邻一列得】 【降阶计算，按第一列展开得】 【循环行列式，各行加给第一行得】 【用行列式的定义计算其值：唯一一个非零项其取自次对角线上元素的乘积并冠以符号.最后化简结果.】 ＝. 例7 计算阶三对角行列式 解 （递推）易见 ， ， 当时，将按的一列展 即，也即 因为 ， 所以 （2）×－（1）×，得 因此 ． 注意，当时，． 练习： 1.证明: 1 ； 2 ； 2.计算下列各行列式（）： 1 ,其中对角线上元素都是，未写出的元素 都是0； 2 ; 3 ; 4 ,. 3．设D ， 求 4．设D 5．设D 小结： 利用行列式展开式性质进行降阶计算时，注意将该行（或列）只 留一个非零元.并且展开时注意代数余子式的符号. 2.对有些问题的计算有时需要加行或加列变成高一阶的行列式进行计算. 3.注意发现所给行列式的特殊规律.寻求简单解法. 4.要灵活运用行列式性质与展开式的性质，灵活运用范德蒙行列 式的计算结果.常用计算行列式的方法有：（1）按某一行（或列） 展开，降阶计算.（2）加行加列.（3）拆行（或拆列）.（4）将代 数余子式的和或余子式的和转化为行列式计算.（5）找到递推关系进行运算.（6）化为三角形计算. 易犯错误：不能灵活运用性质，常常无法运算下去. 在将行列式升 阶或降阶变形时，注意不要改变行列式的值. 15