D72二重积分的计算讲解.ppt

一、利用直角坐标计算二重积分 1 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 , 二、利用极坐标计算二重积分 设 例5. 计算 注: 例7. 求球体 三、二重积分换元法 曲线坐标系下的计算 证: 根据定理条件可知变换 T 可逆. 因此面积元素的关系为 例8. 计算 例9. 计算由 例10. 试计算椭球体 内容小结 极坐标系情形: 若积分区域为 3 计算步骤及注意事项 思考与练习 *三、二重积分的换元法 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 二重积分的计算法 续 且在D上连续时, 由曲顶柱体体积的计算可知, 若D为 X – 型区域 则 若D为Y –型区域 则 为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. 则有 2 若积分域较复杂,可将它分成若干 X-型域或Y-型域 , 则 对应有 在极坐标系下, 用同心圆 r 常数 则除包含边界点的小区域外,小区域的面积 在 内取点 及射线 ? 常数, 分划区域D 为 即 则 特别, 对 若 f ≡1 则可求得D 的面积 思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试 答: 问 ? 的变化范围是什么? 1 2 其中 解: 在极坐标系下 原式 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角 由于 故 坐标计算. 利用例5可得到一个在概率论与数理统计及工程上 非常有用的反常积分公式 事实上, 当D 为 R2 时, 利用例6的结果, 得 ① 故①式成立 . 例6. 求球体 的体积. 解 只需求出上半球的体积 上半球面 被圆柱面 所截得的 含在柱面内的 立体的体积. 解: 设 由对称性可知 定积分换元法 满足 一阶导数连续; 雅可比行列式 3 变换 则 定理: 变换: 是一一对应的 , 用平行于坐标轴的 直线分割区域 任取其中一个小矩 形, 其顶点为 通过变换T, 在 xoy 面上得到一个四边 形, 其对应顶点为 则 同理得 当h, k 充分小时, 曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四 边形, 故其面积近似为 从而得二重积分的换元公式: 例如, 直角坐标转化为极坐标时, 其中D 是 x 轴 y 轴和直线 所围成的闭域. 解: 令 则 所围成的闭区域 D 的面积 S . 解: 令 则 解: 由对称性 令 则D 的原象为 的体积V. 广义极坐标变换 1 二重积分化为累次积分的方法 直角坐标系情形 : 若积分区域为 则 若积分区域为 则 则 2 一般换元公式 且 则 在变换 下 ? 画出积分域 ? 选择坐标系 ? 确定积分序 ? 写出积分限 ? 计算要简便 域边界应尽量多为坐标线 被积函数关于坐标变量易分离 积分域分块要少 累次积好算为妙 图示法 不等式 先积一条线, 后扫积分域 充分利用对称性 应用换元公式 1. 设 且 求 提示: 交换积分顺序后, x , y互换