2TM15-1约束虚位移虚功(008MB).docVIP

第15章 虚位移原理 15.1 约束.虚位移.虚功 §15-1 约束·虚位移·虚功 约束及其分类 （1）约束与约束方程 在第1章中，曾将限制物体位移的周围物体称为约束。为研究上的方便，现将约束定义为： 限制质点或质点系运动的条件称为约束。 表示这些限制条件的数学方程称为约束方程。 可以从不同的角度将约束分类为： 几何约束和运动约束； 定常约束和非定常约束； 完整约束和非完整约束； 双侧约束（固执约束）和单侧约束（非固执约束） （2）几何约束 限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束。 第15章 虚位移原理 15.1 约束.虚位移.虚功 例如，图15-1所示单摆，其中质点M可以绕固定点O在平面Oxy内摆动，摆长为l。质点M受到的约束是几何约束。 图15-1 摆杆对质点的限制条件是：质点M必须在以O为圆心、以l为半径的圆周上运动。 若以x，y表示质点M的坐标，则其约束方程为 例如，质点M在图15-2所示的固定曲面上运动，质点M受到的约束是几何约束。 图15-2 曲面方程就是质点M的约束方程，即 第15章 虚位移原理 15.1 约束.虚位移.虚功 例如，在图15-3所示的曲柄连杆机构中，连杆AB所受的约束有：点A只能作以点O为圆心、以r为半径的圆周运动；点B与点A间的距离始终保持为杆长l；点B始终沿滑道作直线运动。 图15-3 这三个条件以约束方程表示为 连杆AB、点A和点B受到的约束是几何约束。 （3）运动约束 在力学中，除了几何约束外，还有限制质点系运动情况的运动学条件，称为运动约束。 第15章 虚位移原理 15.1 约束.虚位移.虚功 例如图15-4所示，车轮沿直线轨道作纯滚动。 图15-4 车轮除了受到限制其轮心A始终与地面保持距离为r的几何约束外，还受到只滚不滑的运动学限制，即每一瞬时有 上述约束就是几何约束，该方程即为约束方程。 设xA和分别为点A的坐标和车轮的转角，有 则约束方程可改写为 第15章 虚位移原理 15.1 约束.虚位移.虚功 （4）定常约束和非定常约束 不随时间变化的约束称为定常约束，在定常约束的约束方程中不限含时间t，如图15-1所示的单摆的约束是定常约束。 图15-5为一摆长l随时间变化的单摆，图中重物M由一根穿过固定圆环O的细绳系住。 图15-5 设摆长在开始时为l0，然后以不变的速度v拉动细绳的另一端，此时单摆的约束方程为 由上式可见，约束条件是随时间变化的，这类约束称为非定常约束。 第15章 虚位移原理 15.1 约束.虚位移.虚功 （5）其他分类 非完整约束 如果约束方程包含坐标对时间的导数（如运动约 束），而且方程不可能积分为有限形式，这类约束称为非完整约束。 非完整约束方程总是微分方程的形式。 完整约束 如果约束方程中不包含坐标时间的导数，或者约 束方程中的微分项可以积分为有限形式，这类约束称为完整约束。 完整约束方程的一般形式为 式中n为质点系的质点数，s为完整约束的方程数。 第15章 虚位移原理 15.1 约束.虚位移.虚功 例如，上述车轮沿直线轨道作纯滚动的例子中，其约束方程虽是微分形式，但是它可以积分为有限形式，所以仍是完整约束。 双侧约束（或称为固执约束） 前述单摆的例子中，摆杆是一刚性杆，它限制质 点沿杆的拉伸方向的位移，又限制质点沿杆压缩方向的位移，这类约束称为双侧约束（或称为固执约束）。 双侧约束（或称为固执约束）的约束方程是等式。 单侧约束（或称为非固执约束） 若单摆是用绳子系住的，则绳子不能限制质点沿 绳子缩短方向的位移，这类约束称为单侧约束（或称为非固执约束）。 单侧约束的约束方程是不等式。例如，单侧约束的单摆，其约束方程为 第15章 虚位移原理 15.1 约束.虚位移