42换元积分法2.docVIP

3．求下列不定积分： ⑴； 【解】这是无理函数的积分，根指数与根号内多项式的次数都是2，可以应用第二换元法中的三角变换法。 由于根号内为变量在前的平方差，应利用三角函数的平方和公式化去根号，可选用三角变换， 注意到被积函数的定义域为，应分别在两个区间上求解： (当时，令，， 则有，，于是 由于，即为，得， 再由得右图的直角三角形的边角关系： 据图可得， 于是 (当时，令，则，， 积分成为，结构上没有任何改变，于是利用(的结果即得时， 综上得， ⑵； 【解】这是无理函数的积分，根指数与根号内多项式的次数都是2，可以应用第二换元法中的三角变换法。 由于根号内为变量在后的平方差，应利用三角函数的平方和公式化去根号，可选用三角变换， 注意到被积函数的定义域为，可知， 于是，，，于是 ，再作万能变换 ， 得， 于是 再由变换得， 并有下图的直角三角形的边角关系： 据图可得， 从而 ⑶； 【解】这是无理函数的积分，根指数与根号内多项式的次数都是2，可以应用第二换元法中的三角变换法。 由于根号并非为平方和或平方差的规范形，因此应先将其恒等变形为规范形： 这是变量在后的平方差，应利用三角函数的平方和公式化去根号，可选用三角变换，， 于是有，，得 再由变换得，于是， 并有下图的直角三角形的边角关系： 由图可得，于是 ⑷； 【解】由于， 这是无理函数的积分，根指数与根号内多项式的次数都是2，可以应用第二换元法中的三角变换法， 根号内是平方和，应利用三角函数的平方和公式化去根号，可选用三角变换，， 于是有，，得 由得下图的直角三角形的边角关系： 由图可得 ，于是 ⑸； 【解法一】这是无理函数的积分，根指数2与根号内多项式的次数1不相等，可以应用第二换元法中的直接变换法， 令，则，，得，于是 【解法二】令，则，，得，于是 ⑹； 【解】这是无理函数的积分，根指数2与根号内多项式的次数不相等，可以应用第二换元法中的直接变换法， 令，则，，于是 ⑺； 【解】这是无理函数的积分，含有两个不同根式，为进行换元，应化为同一根式： ，，于是， 这时根指数6与根号内多项式的次数不相等，可以应用第二换元法中的直接变换法， 令，则，，，，得 ⑻。 【解】被积函数为有理分式，分母为高次有零点，应该分拆。但因为次数较高，且两个因式的次数相差较大，应考虑使用倒数变换法， 令，则， 于是， 第章 1