(高考备战冲刺指导)高考数学立体几何题解.doc

(高考备战冲刺指导)高考数学立体几何 （Ⅰ）∵平面平面，，平面 ∴平面 又∵平面∴ （Ⅱ）取的中点，则 连接、 ∵平面平面，平面平面， ∴平面 ∵，∴，从而平面 作于，连结，则由三垂线定理知 从而为二面角的平面角 ∵直线与直线所成的角为60°，∴ 在中，由勾股定理得 在中， 在中， 在中， 故二面角的大小为 （Ⅱ）如图以为原点建立空间直角坐标系 　　　设， 有，， ， 由直线与直线所成的角为60°，得 即，解得 ∴， 设平面的一个法向量为，则 由，取，得 取平面的一个法向量为则 由图知二面角为锐二面角，故二面角的大小为 （Ⅲ）多面体就是四棱锥 75.（天津理19）如图，在四棱锥中，底面，，，是的中点． （Ⅰ）证明；（Ⅱ）证明平面；（Ⅲ）求二面角的大小． （Ⅰ）证明：在四棱锥中，因底面，平面，故 ，平面 而平面， （Ⅱ）证明：由，，可得 是的中点， 由（Ⅰ）知，，且，所以平面 而平面， 底面在底面内的射影是，， 又，综上得平面 （Ⅲ）解法一：过点作，垂足为，连结 则（Ⅱ）知，平面，在平面内的射影是，则 因此是二面角的平面角 由已知，得 设， 可得 在中，，， 则 在中， 所以二面角的大小是 解法二：由题设底面，平面，则平面平面，交线为 过点作，垂足为，故平面 过点作，垂足为，连结，故 因此是二面角的平面角 由已知，可得，设， 可得 ， 于是， 在中， 所以二面角的大小是 76.（天津文19）如图，在四棱锥中，底面，，，是的中点．（Ⅰ）求和平面所成的角的大小；（Ⅱ）证明平面； （Ⅲ）求二面角的大小． （Ⅰ）解：在四棱锥中，因底面，平面，故 又，，从而平面 故在平面内的射影为，从而为和平面所成的角 在中，，故 所以和平面所成的角的大小为 （Ⅱ）证明：在四棱锥中， 因底面，平面，故 由条件，，面 又面， 由，，可得 是的中点，， 综上得平面 （Ⅲ）解：过点作，垂足为，连结 由（Ⅱ）知，平面，在平面内的射影是，则 因此是二面角的平面角 由已知，可得 设，可得 ，，， 在中，，，则 在中， 所以二面角的大小 77.（浙江理19）在如图所示的几何体中，平面，平面，，且，是的中点． （I）求证：；（II）求与平面所成的角． 方法一：（I）证明：因为，是的中点， 所以 又平面，所以 （II）解：过点作平面，垂足是，连结交延长交于点，连结， 是直线和平面所成的角 因为平面，所以， 又因为平面，所以，则平面，因此 设，，在直角梯形中，，是的中点，所以，，，得是直角三角形，其中，所以 在中，，所以，故与平面所成的角是方法二：如图，以点为坐标原点，以，分别为轴和轴，过点作与平面垂直的直线为轴，建立直角坐标系，设，则，， ， （I）证明：因为，，所以，故 （II）解：设向量与平面垂直，则，， 即， 因为，， 所以，，即， ， 直线与平面所成的角是与夹角的余角，所以， 因此直线与平面所成的角是 78.（重庆理19）如题（19）图，在直三棱柱中， ，，；点分别在 ，上，且，四棱锥 与直三棱柱的体积之比为． （Ⅰ）求异面直线与的距离； （Ⅱ）若，求二面角的平面角的正切值． 解法一：（Ⅰ）因，且，故面， 从而，又，故是异面直线与的公垂线 设的长度为，则四棱椎的体积为 而直三棱柱的体积为 由已知条件，故，解之得 从而 在直角三角形中，， 又因， 故 （Ⅱ）如答（19）图1，过作，垂足为，连接，因，，故面 由三垂线定理知，故为所求二面角的平面角 在直角中，， 又因， 故，所以 解法二：（Ⅰ）如答（19）图2，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，，则， 设，则，又设，则， 从而，即 又，所以是异面直线与的公垂线 下面求点的坐标 设，则 因四棱锥的体积为 而直三棱柱的体积为 由已知条件，故，解得，即 从而，， 接下来再求点的坐标 由，有，即 （1） 又由得 （2） 联立（1），（2），解得，，即，得 故 （Ⅱ）由已知，则，从而，过作，垂足为，连接，设，则，因为，故 ① 因且得，即② 联立①②解得，，即 则， 又，故，因此为所求二面角的平面角 又，从而，故，为直角三角形，所以 79.（重庆文19）如题19图，在直三棱柱中， ，；点在棱上， ；，垂足为，求： （Ⅰ）异面直线与的距离； （Ⅱ）四棱锥的体积． .解法一：（Ⅰ）由直三棱柱的定义