14年高考真题——文科数学(湖南卷).doc

2014年普通高等学校招生全国统一考试 一选择题本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设命题：，，则为（ ） （A），，，，集合，则（ ） （A） （B） （C） （D）的总体抽取容量为的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，则（ ） （A）（B）（C）（D）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（A）（B）（C）（D）上随机选取一个数，则的概率为（ ） （A）（B）（C）（D）若圆：与圆：外切，则（A）（B）（C）（D）7．执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的属于（ ） （A）（B）（C）（D） 8．一块石材表示的几何何的三视图如图1-2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ） （A）（B）（C）（D），则（ ） （A） （B） （C） （D） 10．在平面直角坐标系中，为原点，，，，动点满足，则的取值范围是 （B） （C） （D） 二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。11．复数（为虚数单位）的实部等于_________。 12．在平面直角坐标系中，曲线（为参数）的普通方程为_________。 13．若变量满足约束条件，则的最大值为________。 14．平面上一机器人在行进中的距离和到直线的距离相等若机器人接触不到过点且斜率为的直线，则的取值范围是_________15．若是偶函数，则____________本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算过程。的前项和。⑴求数列的通项公式⑵设，求数列的前项和17．（本小题满分12分） 。其中分别表示甲组研发成功和失败；分别表示乙组研发成功和失败。⑴若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；⑵若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估算恰有一组研发成功的概率。 18．（本小题满分12分）如图1-3所示，已知二面角的大小为，菱形在面内，两点在棱上，，是的中点，⊥面，垂足为⑴证明：⊥平面；⑵求异面直线与所成角的余弦值19．（本小题满分13分）如图1-4所示，中，，，，，。⑴求的值；⑵求的长。 20．（本小题满分13分）如图1-5所示，双曲线和椭圆均过点，且以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形⑴求的方程⑵是否存在直线，使得与交于两点，与只有一个公共点，且？证明你的结论。⑴求的单调区间；⑵记为的从小到大的第个零点，证明：对一切，有。2014年普通高校招生全国统考卷解答 CDBCD 二．11．；12．；13．7；14．；15． 16．解：⑴当时，。又，故； ⑵由⑴知，记数列的前项和，则 17．解：⑴甲组研发新产品的成绩如下：，其平均数为，方差为； 乙组研发新产品的成绩如下：，其平均数为，方差为。因，，故甲组的研发水平优于乙组； ⑵记，在所有抽的的15个结果中，恰有一组研发成功的结果如下：共7个，所以根据古典概型的概率计算公式可得。 18．解：⑴因，，故。连接，由题可知是正三角形。又为的中点，故。而，故平面； ⑵因，故与所成的角等于与所成的角，即是与所成的角。由⑴知，平面，故。又，故是二面角的平面角，从而。不妨设，则，易知，在中，。连接，在中，。所以异面直线与所成的角的余弦值为。 19．解：设。⑴在中，由余弦定理得，可解得（舍）或。在中，由正弦定理得，从而可解得； ⑵由题可知，故，从而。在中，，于是。 20．解：⑴由题，，故，。因点在双曲线上，故，。又由椭圆的定义可得，即，从而。所以方程为，的方程为； ⑵不存在符合题设条件的直线。①若直线轴，则：或。当时，易知，故，，有。当时，同理可得；②当直线不垂直于轴时，设：，由得。设，则，，于是。由得，故，化简可得。因此，于是，，所以。综上不存在符合题目条件的直线。 21．解：⑴由题，令可得。当时，，。当时，，。故函数的单调递增区间为，单调递减区间为； ⑵由⑴知函数在单调递减，又，故。当时，因，且函数的图象是连续不断的，所以在至少存在一个零点。又在上是单调的，故。因此，当时，；当时，；当时， 。综上得证。 2014年高考真题科数学（解析版） 湖南卷 6 / 6