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2010宣武二模数学
北京市宣武区(理科) 2010.5
一、选择题
1. 集合的元素个数有( )[来源:学科网ZXXK]A. 1个 B. 2个 C.3个 D.无数个 2. 若,则的值为( )
A.270 B.270 C. 90 D.90 3. 若为等差数列的连续三项,则的值为( )
A. 1023 B.1025 C.1062 D. 2047 4. 已知直线、与平面、,下列命题正确的是 ( )
A.且,则 B.且,则 C.且,则 D.且,则 5.已知命题(1) ,使;(2) ,使;(3) ,成立; (4)是的内角,则“” 的充要条件是”.正确的个数是A. 1 B. 2 C. 3 D.4 A. B. C. D. 6.已知函数的图像如右图所示,则其函数解析式可能是( )
7. 抛掷一枚质地均匀的骰子,所得点数的样本空间为.令事件,事件,则的值为( )
A. B. C. D.
8. 如图抛物线: 和圆: ,其中,直线经过的焦点,依次交,于四点,
则的值为 ( )
A. B. C. D. 第Ⅱ卷 (非选择题 共110分)
二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)
9. 函数的值域是 .
10. 若i是虚数单位,则= .
11.如图,为空间四点,是等腰三角形,且 ,是等边三角形.与所成角的大小为 .
12. 如图,与圆相切于,不过圆心的割线与
直径相交于点.已知∠=,,,
则圆的半径等于 .
13.数列中,恰好有5个,2个,
则不相同的数列共有 个.
14. 以直角坐标系的原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,有下列命题:
①与曲线无公共点;
②极坐标为 (,)的点所对应的复数是-3+3i;
③圆的圆心到直线的距离是;
④与曲线,则点坐标是处时获悉,在其正东方向相距20海里的处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西30,相距10海里处的乙船.
(Ⅰ)求处于处的乙船和遇险渔船间的距离;
(Ⅱ)设乙船沿直线方向前往处救援,其方向与成角,
求的值域.
16. (本小题共13分)
已知某个几何体的三视图如图(主视图的弧线是半圆),根据图中标出的数据,
(Ⅰ)求这个组合体的表面积;
(Ⅱ)若组合体的底部几何体记为,其中为正方形.
(i)求证:;
(ii)设点为棱上一点,求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.
17. 在一次考试中共有8道选择题,每道选择题都有4个选项,其中有且只有一个选项是正确的.某考生有4道题已选对正确答案,其余题中有两道只能分别判断2个选项是错误的,还有两道题因不理解题意只好乱猜.
(Ⅰ) 求该考生8道题全答对的概率;
(Ⅱ)
若评分标准规定:“每题只选一个选项,选对得5分,不选或选错得0分”,求该考生所得分数的分布列.
18. (本小题共13分)
设是正数组成的数列,其前项和为,且对于所有的正整数,有.
(I) 求,的值;
(II) 求数列的通项公式;
(III)令,,(),求数列的前 项和.
19. (本小题共14分)
已知函数.
(I)判断函数的单调性;
(Ⅱ)若+的图像总在直线的上方,求实数的取值范围;
(Ⅲ)若函数与的图像有公共点,且在公共点处的切线相同,求实数的值.
20.(本小题共14分)
已知,动点到定点的距离比到定直线的距离小.[来源:Zxxk.Com]I)求动点的轨迹的方程;
(Ⅱ)设是轨迹上异于原点的两个不同点,,求面积的最小值;
(Ⅲ)在轨迹上是否存在两点关于直线对称?若存在,求出直线 的方程,若不存在,说明理由.
北京市宣武区(理)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共8个小题,每小题5分,共40分;在每个小题给出的四个选项中有且仅有一个是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A D B B C A 二、填空题:本大题共有6个小题,每小题5分,共30分.
题号 9 10 11 12 13 14 答案 7 21 ③ 三、解答题:本大题共6个小题,共80分;解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
解:(Ⅰ)连接BC,由余弦定理得=202+102-2×20×10COS120°=700.∴=10. ……………………………………5分
(Ⅱ)∵, ∴sin =
∵是
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