n个平面最多可将空间分成多少个部分.docVIP

n个平面最多可将空间分成多少个部分 数学教师 赵新国问题提出： 空间n个平面最多可将空间分成多少个部分？ 问题分析： 显然，当这n个平面满足以下条件时，所分割的部分数是最多的。 这n个平面两两相交； 没有三个以上的平面交于一点； 这n个平面的交线任两条都不平行。 对于一般情况一下子不易考虑，我们不妨试着从简单的，特殊的情况入手来寻找规律。设n个 平面分空间的部分数为，易知 当时， ； 当时， 当时， 当时，情况有些复杂，我们以一个四面体为模型来观察，可知； 从以上几种情况，很难找出一个一般性的规律，而且当n的值继续增大时，情况更复杂，看来这样不行。那么，我们把问题在进一步简单化，将空间问题退化到平面问题：n条直线最多可将平面分割成多少个部分？（这n条直线中，任两条不平行，任三条不交于同一点），设n条直线最多可将平面分割成个部分，那么 当时，易知平面最多被分为2，4，7个部分。 当时，设条直线将平面分成了个部分，接着当添加上第条直线时，这条直线与前条直线相交有个交点，这个交点将第条直线分割成n段，而每一段将它所在的区域一分为二，从而增加了个区域，故得递推关系式 ，即 显然当时, ,当时，我们得到个式子： …… 将这个式子相加，得，即n条直线最多可将平面分割成个部分。 我们来归纳一下解决这个问题的思路：从简单情形入手，确定与的递推关系，最后得出结论。 现在，我们回到原问题，用刚才的思路来解决空间的问题，设个平面将空间分割成个部分，再添加上第个平面，这个平面与前个平面相交有条交线，这条交线，任意三条不共点，任意两条不平行，因此这第个平面就被这条直线分割成个部分。 而这个部分平面中的每一个，都把它所通过的那一部分空间分割成两个较小的空间。所以，添加上这第个平面后就把原有的空间数增加了个部分。由此的递推关系式 ， 即 当，时，我们得到如下个关系式 …… 将这个式子相加，得 因为 ， 所以 2+ 问题的解：由上述分析和推导可知，n个平面最多可将平面分割成个部分。 巩固练习： 1、①平面上3条直线可将平面分成几个区域？ ②空间3个平面可将空间分成几个部分？ ③空间5个平面最多可将空间分成几个部分？（下转递16页） --36-- --35-- 邯郸市一中校刊 教育科研 JiaoYuKeYan