经典谱估计2幻灯片.pptVIP

* 经典功率谱估计 电子与信息工程学院 谢志远 11.4 直接法估计的改进 直接法估计出的谱PPER ω 性能不好，当数据长度N太大时，谱曲线起伏加剧，N太小时，谱的分辨率又不好。因此需要加以改进。 此处所说的改进，主要是改进其方差特性。 间接法是对直接法的一种改进，又称之为周期图的平滑。 对其改进的另外一种办法是所谓平均法，它的指导思想是把一长度为N的数据xN n 分成L段，分别求每一段的功率谱，然后加以平均，以达到所希望的目的。 在实际应用时，有时还把平滑与平均结合起来使用。 11.4.1 Bartlett法 式中D1 ω 是矩形窗d1 n 的频谱，W1 ω 是由d1 n 做自相关所得到的三角窗w1 m 的频谱，w1 m 的长度是2M-1。 可见，不取平均的周期图PPER ω 和取平均后的PPER ω 都是有偏估计，且当N→∞时，二者都是渐近无偏的。但因为W1 ω 主瓣的宽度远大于W ω 所以取平均后，偏差加大，分辨率下降。 因此，分的段数越多，方差越小。如若L能趋于∞，则PPER ω 是P ω 的一致估计。由上面的分析我们再一次看到，方差性能的改善是以牺牲偏差和分辨率为代价的。 每段数据长度M的选择主要取决于所需的分辨率。因为W1 ω 主瓣的宽度是4π/M，若P ω 中有两个相距为BW的谱峰，为了要分辨它们，需要4π/M BW，即M 4π/BW。如果数据长度N已确定，根据所需的M，段数L也就自然被确定。如果N可以变化，则应根据方差要求确定L，然后再确定要记录的数据长度N。 11.4.4 11.4.4 式是在假定PiPER ω ，i 1，2，…，L，完全独立的情况下得出的。但实际上各段数据xiN n 是互相有关的，因而PiPER ω 也不会相互独立。因此，方差的减小一般要比 11.4.4 式给出的小。 11.4.2 Welch法 Welch法是对Bartlett 法的改进。 改进之二是每一段的数据窗口可以不是矩形窗口，例如使用汉宁窗或哈明窗，记之为d2 n 。 对上述结论的证明 若N增大，则W2 ω 主瓣变窄，如果P ω 是一慢变的谱，那么可以认为P ω 在W2 ω 主瓣内为常数，这样 所以Welch法估计出的谱也是渐近无偏的。 对慢变谱 估计的方差仍近似地由 11.4.4 式给出。但是由于各段允许交叠，因而段数L增大，这样方差可得到更大的改善。但是，数据的交叠又减小了每一段的不相关性，使方差的减小不会到达理论计算的程度。Welch法又称加权交叠平均法，是应用较广的一种方法。 11.4.3 Nuttall法 由于Welch法允许分段时交叠，这样就增加了段数L，当然也就增加了做FFT的次数。如果用的数据窗是非矩形窗，这又大大增加了做乘法的次数。因此，Welch法的计算量比较大。 显然，此方法是把直接法和间接法结合起来，同时也把平滑和平均结合了起来。前述各种方法甚至都可看作是此方法的特例。这一方面保持了平滑和平均减小方差的优点，而且计算量也小于Welch法。 PBT ω 也是对P ω 的渐近无偏估计。在同样的数据长度和实现同样分辨率的条件下，此方法的方差一般要比上述各方法的方差小一些。 11.5经典谱估计算法性能的比较 实验数据为128点复序列，由复数噪声加上四个复正弦组成。 图 b 是对该数据直接求出的周期图。由于主瓣的宽度B 2/128 O.015625 O．01，所以f’1,f’2不能完全分开，只是在波形的顶部能看出是两个频率分量。 图 c 是利用Welch平均法求出的周期图，共分四段，每段32点，没有叠合，使用Hamming窗。这时谱变的较平滑，但分辨率降低。 图 d 亦是用Welch方法求出的平均周期图，每段32点，叠合16点，使用Hamming窗。谱变的更加平滑，分辨能力和图 c 大体一致。 图 e 是用自相关法 BT法 求出的功率谱，M 32，没有加窗；图 f 也是用自相关法求出的功率谱，M 16，使用了Hamming窗。显然，自相关函数的延迟M越小，谱变的越平滑。 *