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P203第10,15,17,19,20题
习题3.7 P203
10. 设在上二阶可导，且，，证明：
证明： ，的一阶泰勒公式为
，则
， ，
两式相减得，故
15. 计算下列极限
2
解：
3
解：
法1
法2：设，则，由拉格朗日中值定理得
17. 证明下列不等式成立.
（3）
证明：设，则
设，则
，故：，即当时严格单调递减，
所以，即当时严格单调递减，
所以，从而，，
因而，当时严格单调递减，
又
所以
19.在半径为的半球外作一外切圆锥体，要使圆锥体体积最小，圆锥的高度及底半径应是多少？
解：如图所示，设外切圆锥的半顶角为，底面半径为，高为，则，，所以，，外切圆锥的体积为。
求的最小值等价于求的最大值，令，问题转化为在的条件下，求的最大值。，令得驻点，（舍），由于驻点唯一，
并且此实际问题最值一定存在，所以时，即
时，外切圆锥体体积最小，最小值为
20. 求下列函数的单调区间、极值点，凸性区间及拐点，并作图.
2
解：，
，
令得两个驻点，，不可导点为。
，令，得 + ＋ - + - + + + 增，凸 -1,0 拐点 增，凹 无定义 减，凹 极小 增，凹
A
B
C
D
OO
α
α
h
a
r
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