EM01矢量分析修订详解.ppt

* 圆柱坐标系与圆球坐标系 坐标变量的取值范围： 圆球坐标变量与直角坐标变量的转换： * 圆柱坐标系与圆球坐标系 建立圆球坐标系，设定单位矢量为： 指向圆球半径增大的方向。 指向与z轴正轴夹角增大的方向。 指向在XY平面投影与x轴正轴夹角增大的方向。 三个单位矢量方向不定，均不是常矢量。 三者总保持正交关系, 并遵循右手螺旋法则: * 圆柱坐标系与圆球坐标系 矢量A在圆球坐标系中可表示为： * 圆柱坐标系与圆球坐标系 空间中面积微元与体积微元的表示： 建立一个近似为长方体的体积微元 下面是该长方体的三条边大小 * 圆柱坐标系与圆球坐标系 得体积微元的三个面的面积分别为： 得体积微元的体积为： * 本章小结 理解标量与矢量，掌握矢量的运算，建立场的思想。 理解无散场和无旋场的思想。 掌握高斯定理、斯托克斯定理。 理解梯度、通量和散度、环量和旋度等概念。 理解圆柱坐标系和圆球坐标系，掌握体积微元的计算方法。 * The End of Chapter 01 * 第一章 习题 1－8 1－13 1－20 1－26 * 矢量的通量与梯度 研究闭合曲面的情况，观察矢量对整个闭合曲面产生通量的效果。 矢量穿出这个闭合面时，总通量为正，认为闭合面中存在产生该矢量场的正源。 矢量进入这个闭合面时，总通量为负，认为闭合面中存在汇聚该矢量场的负源。 矢量进入这个闭合面时，总通量为0，认为闭合面中既无正源又无负源。 * 矢量的通量与梯度 通量只能体现闭合面中正源或负源的总量，不能体现一个点上，所具有的正源或负源的强度。因此引入了散度的概念。 它用来确定空间中的流量源是如何分布的，以及场源的强度。假设一个闭合的微小面元dS所包含的体积大小为ΔV，可近似为一个点，那么可定义矢量场在该点的散度为： 通过该面元的总通量除以体积的极限值。 * 矢量的通量与梯度 若空间中的一点不是场源，则它的散度为0。 若空间中的一点是场源，则它的散度不为0。 散度的计算： 引入哈密顿算子▽，得计算公式如下： 标积运算 * 矢量的通量与梯度 例1.4：求标量函数的梯度 的散度。 解： 拉普拉斯运算 * 高斯定理 散度定理（高斯定理）： 矢量场对包围某个体积的封闭面S的通量，等于该体积内所有散度源大小的总和： 体现了“体积表面的矢量场”与“体积内的标量场”的关系，体现了面积分到体积分的转换。 * 矢量的环量与旋度 常有一种类型的矢量—旋转的矢量，对任意一个闭合曲面，通量总是为0，但是如果沿着一条路径对这个矢量进行积分，得到的结果可不为0。这样的矢量将产生漩涡的效果。 通常计算它沿着一条有向曲线的线积分，得到该矢量沿该曲线的环量，用来描述矢量场的漩涡特性。 * 矢量的环量与旋度 环量也是标量，表示穿过以有向回路l为边界的曲面S的漩涡源的强度。 S l 矢量场对曲面S产生漩涡的效果，漩涡源的强度为对应的环量。 * 矢量的环量与旋度 环量的计算： 可将有向曲线看作由多个微小的有向线元 拼成，总环量等于求矢量 对各个有向线元的环量的积分。 * 矢量的环量与旋度 环量大于0的情况： 矢量与线元有同向的分量 环量等于0的情况： 矢量与线元完全垂直 环量小于0的情况： 矢量与线元有反向的分量 * 矢量的环量与旋度 环量只能体现闭合曲线中，漩涡源的总强度，不能体现漩涡源在各个点上如何分布。因此引入了旋度的概念。 假设一段微小的闭合曲线dl所包含的面积大小为ΔS，可近似为一个点，那么可定义矢量场在该点的旋度为： 通过该线元的总环量除以面积的极限值。 * 矢量的环量与旋度 旋度的计算： 引入哈密顿算子▽，得计算公式如下 矢积运算 * 斯托克斯定理 矢量场对一个曲面的闭合回路边界的环量，应该等于该曲面内所有旋度源的总和。 体现了“区域边缘的矢量场”与“区域内的矢量场”的关系，体现了线积分到面积分的转换。 * 各种度量的小结 通量 体现矢量通过一个曲面的流量强度 环量 体现矢量沿一条曲线的漩涡强度 运算对象 运算结果 含义 梯度 标量 矢量 标量的最大变化率 散度 矢量 标量 流量源的分布与强度 旋度 矢量 矢量 漩涡源的分布与强度 散度是通量在一个点的极限 旋度是环量在一个点的极限 一个矢量场的性质，完全可以由它的散度和旋度来表示 一个标量场的性质，完全可以由它的梯度来表示 思考：通量是标量，散度也是标量，而环量是标量，旋度则是矢量，为什么？ * 无旋场与无散场 从前面的内容了解到，自然界存在两种类型的场源，一种是散度源（流量源），产生通量，另一种是旋度源（漩涡源），产生环量。 所以在有源的空间中，散度和旋度不可能