exp求代数方程的近似根(解)详解.ppt

实验三 求代数方程的近似根(解) 数学实验 问题背景和实验目的 实验三、近似求解代数方程 解方程（代数方程）是最常见的数学问题之一，也是众多应用领域中不可避免的问题之一。 目前还没有一般的解析方法来求解非线性方程，但如果在任意给定的精度下，能够解出方程的近似解，则可以认为求解问题已基本解决，至少可以满足实际需要。 本实验主要介绍一些有效的求解方程的数值方法：对分法，迭代法 和 牛顿法。同时要求大家学会如何利用Matlab 来求方程的近似解。 相关概念 如果 f(x) 是一次多项式，称上面的方程为线性方程；否则称之为非线性方程。 线性方程 与 非线性方程 基本思想 对分法 将有根区间进行对分，判断出解在某个分段内，然后再对该段对分，依次类推，直到满足给定的精度为止。 适用范围 求有根区间内的 单根 或 奇重实根。 数学原理：介值定理 设 f(x) 在 [a, b] 上连续，且 f(a) f(b)0，则由介值定理可得，在 (a, b) 内至少存在一点 ? 使得 f(?)=0。 具体步骤 对分法 设方程在区间 [a,b] 内连续，且 f(a)f(b)0，给定精度要求 ? ，若有 |f(x)|? ，则 x 就是我们所需要的 f(x) 在区间 (a,b) 内的 近似根。 ... ... 收敛性分析 对分法收敛性 设方程的根为 x* ? (ak , bk ) ，又 ，所以 0(k ?) 对分法总是收敛的 但对分法的收敛速度较慢 通常用来试探实根的分布区间， 或给出根的一个较为粗糙的近似。 根据上面的算法，我们可以得到一个每次缩小一半的区间序列 {[ak , bk ]} ，在 (ak , bk ) 中含有方程的根。 迭代法 基本思想 构造 f (x) = 0 的一个等价方程： 从某个近似根 x0 出发，计算 得到一个迭代序列 k = 0, 1, 2, ... ... ? (x) 的不动点 f (x) = 0 x = ? (x) 等价变换 f (x) 的零点 若 收敛，即 ，假设 ?(x) 连续，则 收敛性分析 迭代法的收敛性 即 注：若得到的点列发散，则迭代法失效！ 定义： 迭代法收敛性判断 定理 2：如果定理 1 的条件成立，则有如下估计 如果存在 x* 的某个 邻域 ? =(x*-? , x* +? ), 使得对 ? x0 ? ? 开始的迭代 xk+1 = ?(xk) 都收敛, 则称该迭代法在 x* 附近局部收敛。 定理 1： 设 x =?(x)中的?(x)某个 邻域 ? 内连续，且对 ?x?? 都有 |?’(x)|?q 1, 则对 ?x0? ?，由迭代 xk+1 = ?(xk) 得到的点列都收敛。 迭代法收敛性判断 定理 3： 已知方程 x =?(x)，且 (1) 对 ? x?[a, b]，有 ?(x)?[a, b]； 对 ? x?[a, b]，有|?’(x)|?q 1； 则对 ?x0?[a, b] ，由迭代 xk+1 = ?(xk) 得到的点列都收敛，且 q 越小，迭代收敛越快 ?’(x*) 越小，迭代收敛越快 迭代法收敛性判断 以上所给出的收敛性定理中的条件的验证都比较困难，在实际应用中，我们常用下面不严格的判别方法： 当有根区间 [a, b] 较小，且对某一 x0?[a, b] ，|?’(x0)| 明显小于 1 时，则我们就认为迭代收敛 迭代法的加速 设迭代 xk+1 = ?(xk) ，第 k 步和第 k+1 步得到的近似根分别为 xk 和 ?(xk) ，令 其中 wk 称为加权系数或权重。得新迭代 xk+1 = ?(xk) 加权系数 wk 的确定：令 ?’(x)=0 得 松弛迭代法 松弛法迭代公式： 松弛法具有较好的加速效果，甚至有些不收敛的迭代，加速后也能收敛。 缺点：每次迭代需计算导数 Altken 迭代法 Altken迭代法 用 差商 近似 微商 设 x* 是方程的根，则由中值定理可得 Altken 迭代法 Altken迭代公式 k = 0, 1, 2, ... ... Altken 法同样具有较好的加速效果 牛顿迭代法 令： 基本思想： 用线性方程来近似非线性方程，即采用线性化方法 设非线性方程 f (x)=0 , f (x) 在 x0 处的 Taylor 展开为 牛顿法迭代公式 牛顿迭代公式 k = 0, 1, 2, ... ... 牛顿法的收敛速度 令 牛顿法至少二阶局部收敛 当 f ’ (x*) ? 0 时 ?’(x*)=0 ?(x) 即为牛顿法的迭代函数 牛顿法迭代公式 牛顿的