巴斯普定理及其证明详解.doc

05 物体平衡的种类 概念规律： 1、平行力的合成与分解 物体所受的几个力的作用线彼此平行，且不作用于一点，即为平行力（系）。 在平行力的合成或分解的过程中，必须同时考虑到力的平动效果和转动效果，后者要求合力和分力相对任何一个转轴的力矩都相同。 两个同向平行力的合力其方向与两个分力方向相同，其大小等于分力大小之和。其作用线在两个分力作用点的连线上。合力作用点到分力作用点的距离与分力的大小成反比。例如：两个同向平行力FA和FB，其合力的大小F=FA+FB，合力作用点O满足AO·FA=BO·FB的关系。 两个反向平行力的合力其方向与较大的分力方向相同，其大小等于分力大小之差。其作用线在两个分力作用点的连线的延长线上，且在较大的分力的外侧。合力作用点到分力作用点的距离与分力的大小成反比。例如：两个反向平行力FA和FB的合成其合力的大小F=FB-FA(假如FB＞FA，则F和FB同向)其合力的作用点满足AO·FA=BO·FB的关系。 一个力分解成两个平行力，是平行力合成的逆过程。 2、重心和质心 重心是重力的作用点。质心是物体(或由多个物体组成的系统)质量分布的中心。物体的重心和质心是两个不同的概念，当物体远离地球而不受重力作用时，重心这个概念就失去意义，但质心却依然存在。对于地球上体积不太大的物体，由于重力与质量成正比，重心与质心的位置是重合的。但当物体的高度和地球半径比较不能忽略时，两者就不重合了，如高山的重心比质心要低一些。 质心位置的定义表达式是一个矢量表达式，可以写成三个分量表达式： 其意义可以这样理解：假定由多质点组成的物体被分成许多小块，每块都有相同的质量m，物体总质量等于块数(设为N块)乘以每块质量m，第一式可以改写成： 即等于各小块的位置Xi之和除以块数N。因此，在假定每块质量相等时XC，就是所有Xi的平均值。如果其中有一块(设第i块)的质量是其它小块质量的两倍，则在求和时，相应的Xi应出现两次。这可以设想把此两倍的质量的小块分成相等的两块即可看出。因此，XC是所有质量在X方向上的平均位置，其中每小块质量所计算的次数都正比于这个质量自身。这就是人们常说的，质心位置是以质量为权重的加权位置平均值。 质心位置的求法： (1)定义法 根据定义式是求质心位置最普遍最基本的方法。首先建立直角坐标，再利用直角坐标下定义式给出质心的位置。对质量连续分布的物体，计算中通常要用到积分，对于中学生来说暂时还无力求解。因此，此法通常用于质量离散分布或系统可以等效成离散质点情况的处理。 (2)实验室 质量作平面分布的物体用实验法求质心位置较为简便。在此平面物体上，选两点A和B(设A、B和质心不在同一直线上)，分别作为悬挂点，悬挂在垂直于平面的光滑转轴上，过悬挂点的两个铅垂线的交点即为质心位置。 (3)对称法 如果一个物体质量分布具有轴对称性，例如质量平面均匀分布的菱形物体，其质心必处在对角线上，两对角线的交点即为此菱形的质心位置。这是因为垂直于对称轴方向上，轴两旁的正负坐标的质量对应相等。 (4)分割法 这种方法把整个物体分割成质心易求的若干部分，再把各部分看成位置在各自质心处、并具有该部分质量的质点，再依质心定义表达式求出整个物体的质心位置。 如下左图的棒锤，假设匀质球A质量为M、半径为R；匀质棒B质量为m、长度为l，求它的重心。第一种方法是将它分隔成球和棒两部分，然后用同向平行力合成的方法找出其重心C。C在AB连线上，且AC·M=BC·m(如下右图)。 (5)负质量法 容易看出，负质量法本质上是分割法的一种推论，仍然是把整个物体分割成质心易求的几个部分。不同的是，每一部分既可以是正质量，也可以是负质量。 同样，将棒锤看成一个对称的“哑铃”和一个质量为—M的球A′的合成(如下左图)，用反向平行力合成的方法找出其重心C，C在AB连线上，且BC·(2M+m)=A′C·M．不难看出两种方法的结果都是：BC=M（R+l/2）/（M+m） 证明方法与分割法相同。 有时，根据质心的定义，我们还可用坐标法求物体系的质心。通常把物体分割成n个部分，求得这n个部分的质量分别为m1，m2，…，mn。所受的重力相应为m1g，m2g，…mng。又求得它们的重心(质心)的坐标分别为(x1，，y1，z1)，(x2，y2，z2)，…，(xn，yn，zn)。由于这n个部分所受的重力Gi=mig(i=1，2，…，n)可看作是平行力，故可用类似于求同向平行力合力的方法，求得这n个平行力合力的作用点位置(xC，yC，zC)，得出整个物体质心(重心)的位置坐标为 上例中，以B点为原点，水平向右为。轴正方向，则A、B的合质心的位置为： 即： 负号表示质心的位置在B点左侧（如上右图