PQ变换与DQ变换的理解与推导详解.doc

p-q变换与d-q变换的理解与推导 120变换和空间向量 120坐标系是一个静止的复数坐标系。120分量首先由莱昂（Lyon）提出，所以亦成为莱昂分量。下面以电流为例说明120变换。、、为三相电流瞬时值，120坐标系与abc坐标系之间的关系为[1]： 式中和分别为定子绕组平面内的120°和240°空间算子，，，上式的逆变换为： 可以看出，120变换在形式上与矢量对称分量变换很相似，不过这里的是瞬时值而不是矢量，是瞬时复数值，所以120变换亦称为瞬时值对称分量变换。由于是瞬时值之间的变换，所以120变换对瞬态（动态）和任何电流波形都适用，而矢量对称分量法仅适用于交流稳态和正弦波的情况。另外，由于和是空间算子，所以和是空间向量而不是时域里的矢量；所以瞬时值对称分量和矢量对称分量具有本质上的区别。另外，从上式可知，等于的共轭值，所以不是独立变量。 用矩阵表示时，可写成 ， （1-1） ， 此变换矩阵为等幅变换。 所谓等值变换是三相电流形成的总的MMF：Magnetic Motive Force）和形成的MMF幅度一样变换虽然有明确的物理意义，但是如果变换，在计算功率的时候功率不守恒保持内积不变，而功率恰好是电流、电压矢量的内积，只要将组成变换矩阵的特征向量规范化（单位化），即可保证变换前后的功率形式不变。 令，，变换矩阵为C。 原三相系统中功率为： 变换后的功率为： 当，即，可使变换前后功率不变，满足此条件的C即为正交矩阵。 在120分量中，由于负序分量不是一个独立变量，所以可以把它省略；另外，零序分量是一个孤立系统，可以单独处理；所以实用上通常仅需用到正序分量。为此定义定子电流的空间矢量，它等于的2倍，即 = （1-2） 式中的1、和分别表示a相、b相和c相轴线位置处的单位空间矢量。若零序电流为0，在a、b、c相轴线上的投影即为，如图1-1所示。 从式（1-2）可以看出，定子电流的空间矢量既表达了三相电流在时域内的变化情况，又表达了三相绕组在空间的不同位置；就物理意义而言，它实质上是代表定子三相绕组所组成的基波合成磁动势。 图1-1 电流的空间向量 电压矢量同理可得。 Park变换与Clarke变换 （1）Clarke变换 αβ0坐标系是一个两相坐标系，其中α轴与a相绕组轴线重合，β轴超前α轴90°电角，0序则是一个孤立的系统。 以电流为例，说明abc与αβ0坐标系之间的坐标变换。把图中α和β轴线上的电流和分别投影到a、b、c三相轴线上，再加上孤立的零序电流，可得、和： 图1-2 αβ0变换 ， 其中， 不难看出，此变换是等幅值变换，如果得到等功率变换，需要把进行单位正交化，变为正交矩阵，使得，得到等功率变换矩阵为 （2）Park变换 dq0坐标系是一种与转子一起旋转的两相坐标系和零序系统的组合。若转子为凸极，则d轴与凸极的中心轴线重合，q轴超前d轴90°电角，如图1-3所示。dq0变换是从静止的abc坐标系变换到旋转的dq0坐标系的一种变换。 图1-3 dq0变换 以定子电流为例。设定子三相绕组中电流为、、，转子d轴与定子a相绕组轴线之间夹角为（电角），dq0变换后定子电流的dq0分量分别为、、。把旋转的d、q轴上的、分别投影到定子a、b、c三相轴线上，再加上零序电流，可得到、和： ， 其中 式中，为转子的角速度，为0时刻时，d轴与a轴夹角，转子旋转时，是一个时变阵。若，即转子不转，且d轴与a轴重合时，dq0坐标系退化为αβ0坐标系。实际上，由图1-3可知，若，就意味着。。。。。与图1-2一致。 显然上式不是正交矩阵，上述变换为等幅值变换，把变换矩阵单位正交化变为正交矩阵 则，此时变换将成为等功率变换。 Clarke变换也是αβ变换，它变换后的量仍然是交流量，也就是说，它的值是随着abc三相值的变化而变化的。它的主要用途是瞬时无功功率控制。 Park变换是交流坐标系变换为直流坐标系，一般在VSC（voltage source converter）的控制中常用，它将交流变化的量变换到直流坐标系下，稳态时dq量可以保持恒定。VSC控制就是控制变换过的dq量从而对系统的电压电流等参数进行控制的[3]。 瞬时无功理论 设三相电路各相电压和电流的瞬时值分别为、、和、、。为分析问题方便，把他们变换到两相正交的坐标系上研究。如图1-4所示[2]。 图1-4 系中电压、电流矢量 由下面的变换可以得到、两相瞬时电压、和、两相瞬时电流、。 （1-3） （1-4） 。 此变换为等功率变换，标准正交化成可逆的转移矩阵（正交阵）为 ， 不难推导出，120分量与αβ0分量之间具有下列关系 ， （1-5） 以电流为例推导过程如下： 空间矢量与αβ分量的关系为 （1-6）