9-2二重积分的计算法详解.ppt

返回 第二节 二重积分的计算法 一、二重积分在直角坐标系中的计算法 二、二重积分在极坐标中的计算法 如果积分区域为： 其中函数 在区间 上连续. ［X－型］ 一、二重积分在直角坐标系中的计算法 应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法, 得 如果积分区域为： ［Y－型］ X型区域的应用特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. Y型区域的应用特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. 若区域如图， 在分割后的三个区域上分别使用积分公式 则必须分割. 例 计算 其中D 是抛物线 所围成的闭区域. 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, 及直线 则 例 计算 解 D Y—型 I = 若先y后x由于D的下边界曲线在x的不同范围内有不同的表达式,须分片积分,计算较麻烦。 2 1 2 1 解 解 积分区域如图 例 计算 其中D 是直线 所围成的闭区域. 解: 由被积函数可知, 因此取D 为X - 型域 : 先对 x 积分不行, 说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序. 对应有 在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 则除包含边界点的小区域外,小区域的面积 在 内取点 及射线 ?=常数, 分划区域D 为 二、二重积分在极坐标中的计算法 即 设 则 特别, 对 (2)极点o在区域D之外 例1. 计算 其中 解: 在极坐标系下 原式 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角 由于 故 坐标计算. 注: 利用上题可得一个在概率论与数理统计及工程上 非常有用的反常积分公式 事实上, ① 故①式成立 . 又 例4. 求球体 被圆柱面 所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解: 设 由对称性可知 返回