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喷洒农药：圆锥体学习的新素材 　　基金项目：浙江省教科规划2012年度高校研究课题“多元文化视野中数学课程资源开发研究”（SCG1）；教育部人文社会科学研究规划基金项目“多元文化数学课程的理论与实践研究”（ 项目编号为 10YJA880179） 　　数学教学需要关注学生独特的背景与文化《义务教育数学课程标准（2011版）》在基本理念中就明确指出：“课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生的体验与理解、思考与探索”[1]《普通高中数学课程标准（实验）》也在基本理念中明确指出：“高中数学课程应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力”[2] 　　基于此，本文将尝试挖掘农村生活中喷洒农药的数学元素，并通过三个子任务的探索实现数学与日常生活的联系 　　1圆锥体的基本认识：喷农药时形成的水柱 　　喷农药时形成的水柱可以近似地抽象成圆锥体（如图1）教师可以引导农村学生借助这一生活中常见的现象来认识圆锥体的形状及几何元素比如水柱由一个洞口喷洒出来，出水口即圆锥的顶点如果是竖直地往水平地面喷洒农药，那么水柱边缘所形成的面即是圆锥的侧面，水柱边缘的水形成圆锥的母线，喷到地面所形成的圆盘即是圆锥的底面，而由出水口作地面的垂线则是圆锥的轴，且垂足是圆锥底面的圆心等以此为基础，还可以引导学生探索圆锥的一些基本几何特征： 　　底面：是一个圆； 　　轴：经过顶点与底面的圆心； 　　母线：无数条，且长度相等、交于顶点、与轴的夹角（α）相等 　　这样做至少有两方面的意义首先，密切了学生的日常生活经验与数学学习的关系，使学生感受到生活中处处有数学，体会到数学的文化价值其次，强调用农村学生生活中的经验理解数学，使数学学习变得现实而容易正如著名数学教育家弗赖登塔尔所指出的[3]，数学来源于现实，存在于现实，并且应用于现实，而且每个学生有各自不同的“数学现实” 数学教师的任务之一是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实农村生活经验是农村中学生数学现实的重要组成部分，为理解学校数学提供了具体而直观的现实模型，同时数学的理解又反过来深化了对现实模型的认识 　　2水柱圆锥体特点的进一步探索 　　21特殊的系列圆锥体 　　进一步，教师可以引导学生去讨论以下问题 　　问题1：随着出水口与地面的高度的变化形成了一系列的圆锥体（如图2），这些圆锥体之间有什么样的关系？ 　　对于这个问题，学生首先会思考的是一个圆锥体中有哪些定量关系根据第一阶段的学习，学生容易得出如下关系： 　　化形成的系列圆锥体 　　然后再来考虑这一系列的圆锥体之间的关系学生会发现，这些圆锥体的共同特征是α不变，因此，l、r、S底与h成正比即当h增大时，l、r、S底均增大 　　这一问题对于大部分学生而言其实并不难，其教育价值在于使学生的思考更有脉络，使学生的数学思维保持在较高的水平在第一阶段，学生已经对圆锥的几何特征有所认识，特别是已能通过底面、侧面、母线、轴、顶点等几何元素来认识几何体，那进一步也是自然会思考的问题是这些几何元素之间的关系，紧接着又会思考当h变化时，其他元素又会如何变化，如何用定量的方式来刻画这些变化等问题根据Stein和Smith提出的数学任务的四种认知水平可以发现，该学习活动暗示有一个几何认识的基本框架（从单一几何元素的认识到多个几何元素间的关系；从定性思考到定量思考等），同时又需要学生付出一定程度的认知努力，因而属于高认知水平中的有联系程序型任务[4]其次，这一问题的思考还有助于发展学生的数学发现能力和数学概念、命题的建构能力在上述问题的解决过程中，学生会发现不管高度怎么变，母线与轴的夹角不变，这也是这一系列圆锥体的本质联系事实上，数学的建构在一定程度表现为发现“变化中的不变性”的过程，上述学习活动正好体现了这一过程 　　22截面问题 　　以上讨论的是将农药竖直洒到水平地面的情况，那自然就要考虑到地面是一个倾斜平面时的情况在不考虑水的重力对水柱形状的影响的情况下，这便涉及了更复杂的圆锥截面问题（如图3），也即是数学史上重要的圆锥截面问题圆锥截面是在公元前3世纪得出的，它们为17世纪的数学家们打下了坚实的基础，他们开始整理出与由圆锥截面得到的曲线相关的各种原理[5]在不考虑水的重力的情况下，当截面位置不同时将会出现椭圆、双曲线的一支、抛物线、圆、直线、点等多种类型 　　这样做的目的不仅使学生的数学思考更有背景与脉络，渗透了一般化、分类等重要的数学思想，同时还在于将生活中的数学问题与数学史相联接，增强数学学习的历史厚重感，使学生因为自己所研究的数学问题在历史上的重要性而感到自豪 　　对于数学基础较好、并对数学有强烈探究欲望的学生，教师可以在介绍历史背景之后