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第三节 常用经济函数 一、单利与复利 二、多次付息 三、贴现 四、需求函数 五、供给函数 六、市场均衡 七、成本函数 八、收入函数与利润函数 * * * 一、单利与复利 则第一年末本利和为 则第二年末本利和为 第 年末的本利和为 利息是指借款者向贷款者支付的报酬, 它是根据本 金的数额按一定比例计算出来的. 利息又有存款利 单利计算公式 设初始本金为 元 , 银行年利率为 息、 债款利息、贴现利息等 货款利息、 几种主要形式. 复利计算公式 设初始本金为 元 , 银行年利率为 则第一年末本利和 则第二年末本利和 本金 利息 若 年末的本利和为 例1 现有初始本金100元, 若银行年储蓄利率为7%, 问: 1 按单利计算, 3年末的本利和为多少? 2 按复利计算, 3年末的本利和为多少? 3 按复利计算, 需多少年能使本利和超过初始本金 解 1 已知 由单利计算公式得 元 即3年末的本利和为121元. 2 由复利计算公式得 元 的一倍? 3 按复利计算, 需多少年能使本利和超过初始本金 解 的一倍? 即需11年本利和可超过初始本金一倍. 3 若 年后的本利和超过初始本金的一倍, 即要 二、多次付息 现在来讨论每年多次付息的情况. 单利付息情况 因每次的利息都不计入本金, 故若 一年分 次付息, 则年末的本利和为 即年末的本利和与支付利息的次数无关. 复利付息情况 因每次支付的利息都记入本金, 故 年末的本利和支付利息的次数是有关系的. 设初始本金为 元 , 年利率为 息, 则一年末的本利和为 若一年分 次付 复利付息情况 因每次支付的利息都记入本金, 故 年末的本利和支付利息的次数是有关系的. 设初始本金为 元 , 年利率为 息, 则一年末的本利和为 若一年分 次付 易见本利和是随 的增大而增加的. 本利和为 而 年末的 三、贴 现 票据的持有人, 为在票据到期以前获得资金, 从票面 金额中扣除未到期期间的利息后, 得到剩余金额的现 金称为贴现. 钱存在银行里可以获得利息, 如果不考虑 贬值因素, 那么若干年后的本利和就高于本金. 如果考 虑贬值的因素, 则在若干年后使用的未来值 相当于本 利和 就有一个较低的现值. 例如, 若银行年利率为7%, 则一年后的107元未来值的现值就是100元. 考虑更一般的问题: 确定第 年后价值为 元钱的现 值. 假设在这 年之间复利年利率 不变. 利用复利计算公式有 得到第 年后价值为 元钱的现值为 式中 表示第 年后到期的票据金额, 表示贴现率, 而 表示现在进行票据转让时银行付给的贴现金额. 若票据持有者手中持有若干张不同期限及不同面额 的票据, 且每张票据的贴现率都是相同的, 则一次 性向银行转让票据而得到的现金 式中 为已到期的票据金额, 为 年后到到期的 票据金额. 称为贴现因子, 由它可给出不同 年限及不同贴现率下的贴现因子表. 它表示在贴现率 下 年后到期的1元钱的贴现值. 例2 某人手中有三张票据, 其中一年后到期的票据金 额是500元, 二年后到期的是800元, 五年后到期的是 2000元, 已知银行的贴现率6%, 现在将三张票据向银 行做一次性转让, 银行的贴现金额是多少? 解 由贴现计算公式, 贴现金额为 其中 故 元 . 三、需求函数 需求函数 是指在某一特定时期内, 市场上某种商品 的各种可能的购买量 间的数量关系. 假定其它因素 如消费者的货币收入, 偏好和相关商品的价格等 不变, 则决定某种商品需 求量的因素就是这种商品的价格. 此时, 需求函数表 示的就是商品需求量和价格这两个经济变量之间的 数量关系 其中, 表示需求量, 价格. 需求函数的反函数 表示 习惯上将价格函数也统称为需求函数. 称为价格函数, 和决定这些购买量的诸因素之 格的上涨而减少, 因此, 需求函数是单调减少函数. 例如, 函数 称为线性需求 函数 如图 . 一般地, 商品的需求量随价格的下降而增加, 随价 五、供给函数 供给函数是指在某一特定时期内, 市场上某种 商品的各种可能的供给量和 诸因素之间的数量关系. 假定生产技术水平、 生产成本等其它因素不变, 则决定某种商品供 给量的因素就是这种商品的价格. 此时, 供给 函数表示的就是商品的供给量和 济变量之间的数量关系 其中 , 表示需求量, 表示价格. 决定这些供给量的 价格这两个经 供给函数以 列表方式给出时称为供给表, 而供给函数的图 像称为供给曲线. 一般地, 商品的供给量随价格的上涨而增加, 随价格的下降而减少, 因此, 供给函数是单调 增加函数. 例如, 函数 称为线性 供给函数 如图 . 六、市场均衡 对一种商品而言, 如果需求量等于供给量, 则 这种商品就达
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