概率论课件第3章 随机向量及其分布.ppt

也可表为： 卷积公式 例3 设ξ,η是相互独立的服从N(0,1)的随机变量，求ζ＝ ξ＋η的密度函数。 解 ∴ζ～N(0,2) 进一步可推导出： 商的分布 先证明： 证明： 证明： 对n维正态分布，独立和不相关的关系如下： 定理： 相互独立的充要条件是它们 两两不相关。 定理： 服从n元正态分布的 充要条件是它的任一线性组合 服从一维正态分布。 例 ξ和η均服从正态分布，但联合分布却不一定是正态分布。 作业： 2、8、13、15 同理，可得关于η的边缘密度 例5 设 (ξ,η)服从二维正态分布，其联合分布密度为 求边缘分布密度。 证明： 证： 则 同理: 其中用到： 定理１ 设(X, Y)是二维连续型随机变量，φ(x,y)及φX(x)、φY(y)分别是(X, Y)的联合分布密度及边缘分布密度，则X、Y相互独立的充要条件是：对任意点(x,y)，有 φ(x,y)=φX(x) ·φY(y) 例6 设(ξ,η)在椭圆 所围成的区域上服从均匀分布。即其联合密度为 边缘密度为 显然， 所以，ξ，η不相互独立。 例7 (ξ,η)服从参数为μ1，μ2，σ1，σ2，ρ的二元正态分布,证明ξ、η相互独立的充要条件是ρ ＝0。 证 因为， 充分性 若ρ =0 ，则对任意实数x，y有 即ξ、η相互独立。 必要性 若ξ、η相互独立，则对任意实数x，y有 取x=μ1，y=μ2时上式也成立，此时上式化为 从而得到r=0。 例8 在某一分钟内的任何时刻，信号进入收音机是等可能的。若收到两个相互独立的信号的时间间隔小于０.５秒，则信号相互干扰。求：两信号相互干扰的概率。 解 把一分钟取作区间[0，1]，设两信号进入收音机的时刻分别为ξ、η（单位：分） ξ、η相互独立，所以(ξ,η)的联合分布密度如下： D 连续型随机变量的条件密度 例9 设(ξ,η)的密度函数为 解 例10 解 由此可知 由此可知 §3.4 二维随机向量函数的分布 离散型随机向量和函数的分布 设 (X,Y)的布律为P{X=i,Y=j}=pij （i=0，1，2，…; j=0，1，2，…） 令Z=X+Y 则Z取值为0,1,2, …, 特别地，当X, Y独立时，有 故 例1 解 ξ~P(λ1),η~P(λ2)，且ξ,η相互独立。求ζ＝ ξ＋η的分布。 ∴ζ~P(λ1+λ2) 例2 解 连续型随机向量和函数的分布 设(X,Y)的联合密度为f(x,y) 令Z=X+Y 卷积公式 表１ 有放回抽样的分布律 η 1 1 0 1 0 ξ η 1 1 0 1 0 ξ 表２ 不放回抽样的分布 随机变量的相互独立性 定义 F(x,y)及FX(x)、FY(y) 分别是(X,Y)的联合分布函数及边缘分布函数，若对任意实数x、y有F(x,y)= FX(x) ·FY(y) 即 则称随机变量X、Y是相互独立。 定理２ 设(X,Y)是二维离散型随机变量，则X、Y相互独立的充要条件是：对(X, Y)的任意一组可能值(xi, yj)有 即 例4 一袋中有五件产品，其中两件次品，三件正品，从袋中任意依次取出两件，分别采用有放回与不放回两种方式进行抽样检查，规定随机变量 则(ξ,η)的联合分布律和边缘分布律如下： 解 表１ 有放回抽样的分布律 η 1 1 0 1 0 ξ 从上表知：pij=pi.pj. i,j=1,2 所以， ξ，η相互独立。 η 1 1 0 1 0 ξ 表２ 不放回抽样的分布 从上表知： 所以，ξ，η不相互独立。 对于离散型随机向量，当p.j0时，称 为Y=yj条件下X的条件分布律。 离散型随机变量的条件分布 当pi.0时，在X=xi条件下Y的条件分布律 类似地 例5 在整数1~5中任取一数ξ， (1)取ξ后放回去再取另一数η。 (2)取ξ后不放回去再取另一数η。 在这两种情况下分别求(ξ,η)的联合分布律、边缘分布律、P{ξ∣η=2}。 解 §3.3 二维连续型随机向量 定义 对于随机向量(X,Y)，若存在函数f(x,y)≥0 (x、y∈R) ，使得(X, Y)的分布函数 则称(X, Y) 是二维连续型的随机向量；f(x,y) 称为(X, Y)的密度函数。 密度函数f(x,y)具有以下性质： （１）f(x,y) ≥0； （２） （３）若f(x,y)在点(x,y)处连续，则 （４）若Ｄ是xoy平面内的任一区域，则 例1 （二元正态分布