概率论课件第5章 大数定律和中心极限定理.ppt

* * 定义 设X1, X2 , …, Xn , …为随机变量序列，具有有限的数学期望和方差。如 则称X1, X2 , …, Xn , …服从中心极限定理。 独立同分布的中心极限定理 定理１ 设X1, X2 , …, Xn , …为独立同分布的随机变量，EXi=μ和Var[Xi]=σ2， -∞μ, σ2+∞ ，令 则对任意实数x，有 {Xi} 独立同分布， EXi、 Var[Xi]有限。 定理的等价形式 则当n较大时， 例1 某保险公司对一种电视机进行保险，现有3000个用户，各购得此种电视机一台，在保险期内，这种电视机的损坏率为0.001，参加保险的客户每户交付保险费10元，电视机损坏时可向保险公司领取2000元，求保险公司在投保期内: （１）亏本的概率； （２）获利不少于10000元的概率。 解 （１）亏本的概率： （２）获利不少于10000元的概率： 棣莫弗－拉普拉斯中心极限定理 设X1, X2, … , Xn, …独立同分布，Xi的分布是 P(Xi=1)=p， P(Xi=0)=1－p (0p1) 则对任意实数x，有 Yn~B(n,p) 定理的等价形式 则当n较大时， 例2 已知一大批种子的良种率是1/6，现从中任意选出600粒，求这600粒种子中，良种所占的比例值与1/6之差的绝对值不超过0.02的概率. 从一大批种子中任选600粒，内含良种的粒数为随机变量ξ，有ξ～B(600,1/6) . 解 所求概率可表为 如不用中心极限定理，则应如下求解： 例5.2.2 设某地区原有一家小电影院，现拟筹建一所较大的电影院。根据分析，该地区每天平均看电影者约有n=1600人，预计新电影院开业后，平均约有3/4的观众将去新电影院。现计划其座位数，要求座位数尽可能多，但“空座达到200或更多”的概率不能超过0.1，问设多少座位为好？ 解：设每天看电影的人编号1,2,3,…,1600, 且令 假设各观众去不去电影院是独立选择的。 则X1, X2 ,…, X1600是独立的(0-1)分布的随机变量。 设座位数是m，按要求有 P(X1+X2+…+X1600≤m-200)≤0.1 要在此条件下m最大，就是在上式取等号时. 假设报名学习某门选修课的学生人数是服从均值100的泊松分布的随机变量。学校领导决定，如果报名人数不少于120人，就分成两个班上。如果少于120人，就集中在一个班上。试问该选修班分成两个班上的概率是多少？ 例 解、 棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理的应用有三大类： ii) 已知 n 和概率，求x ； iii) 已知 x 和概率，求 n . i) 已知 n 和 x，求概率； 一、给定 n 和 x，求概率 例3 100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组成一个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率. 解： 由此得： 用Xi=1表示第i个部件正常工作, 反之记为Xi=0. 又记Y=X1+X2+…+X100，则 E[Y]=90，Var[Y]=9. 二、给定 n 和概率，求 x 例4 有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床，每台机床工作时需15kw电力. 问共需多少电力, 才可有95%的可能性保证正常生产? 解： 设供电量为x, 则从 用Xi=1表示第i台机床正常工作, 反之记为Xi=0. 又记Y=X1+X2+…+X200，则 E[Y]=140，Var[Y]=42. 中解得 三、给定 x 和概率，求 n 例5 用调查对象中的收看比例 k/n 作为某电视节目的收视率 p 的估计。 要有 90％ 的把握，使k/n与p 的差异不大于0.05，问至少要调查多少对象？ 解： 用Xn表示n 个调查对象中收看此节目的人数，则 从中解得 Xn 服从 b(n, p) 分布，k 为Xn的实际取值。 又由 可解得 n = 271 P98 5.1, P99 5.3、5.4、 5.8 作 业 * * * * * 第5章 大数定律和中心极限定理 大数定律 中心极限定理 §5.1 大数定律 （弱）大数定律： 切比雪夫弱大数定律、辛钦弱大数定律、伯努利大数定律 强大数定律： 柯尔莫哥洛夫强大数定律、博雷尔强大数定律 马尔科夫不等式 若η为只取非负值的随机变量，则对任意常数ε0，有 证明 我们只证明η为连续型随机变量的情形。 设η的密度函数为f（y）。 当y0时，f（y）=0。 一、弱大数定律 切比雪夫不等式 引理5.1.1 设随机变量X有有限方差，对任意ε0，则 证 定义 例 证明、 切比雪夫弱大数定律 证明用到切比雪夫不等式. 证明 辛钦大数定律 设X1，X2