概率论课件第7章 参数估计.ppt

故 7.3.4 非正态总体参数的区间估计 例 （两点分布的参数的区间估计） 解 习题7 9，11，19 7.3.1 单个正态总体的区间估计 1、σ2已知，求μ的置信区间 例1 解 2、σ2未知，求μ的置信区间 在例1中若滚珠直径的方差σ2未知，用同样的数据求μ的置信概率为0.95的置信区间。 解 例2 分析例1和例2的结果会发现，由同一组样本观察值，按同样的置信概率，对μ计算出的置信区间因为σ2的是否已知会不一样。这因为：当σ2为已知时，我们掌握的信息多一些，在其他条件相同的情况下，对μ的估计精度要高一些，即表现为μ的置信区间长度要小些。反之，当σ2为未知时，对μ的估计精度要低一些，即表现为μ的置信区间长度在大一些。 3、μ已知，求σ2的置信区间 构造变量 例3 解 4、μ未知，求σ2的置信区间 7.3.2 两个正态总体的区间估计 两台机床生产同一个型号的滚珠，从甲机床、乙机床生产的滚珠中分别抽取8个、9个，测得这些滚珠的直径（单位:mm）如下: 甲机床 15.0，14.8，15.2，15.4，14.9，15.1，15.2，14.8 乙机床 15.2，15.0，14.8，15.1，15.0，14.6，14.8，15.1，14.5 两台机床生产的滚珠直径服从正态分布，求这两台机床生产的滚珠直径均值差μ1－μ2 的置信区间，置信概率为0.90，设 （1）已知甲、乙机床生产的滚珠直径的标准差分别为σ1=0.18mm及σ2=0.24mm; （2）未知σ1，σ2，已知σ1=σ2 。 例4 解 例5 解 （1）计算得 7.3.3 单个正态总体参数的联合区间估计 例8 解 另外，由于 例9 解 7.1.3、顺序统计量估计 总体是连续型随机变量且分布密度对称时，总体中位数就是均值。此时可用样本中位数估计总体均值，用样本极差估计总体标准差。 点估计的方法： 一、矩估计法（也称数字特征法） 直观意义比较明显，但要求总体k阶矩存在。 二、极大似然估计法。 具有一些理论上的优点，但要求似然函数可微。 三、顺序统计量法 使用起来方便，无需多大计算，但准确度不高。 定义7.2.1 §7.2 估计量优劣性的评价 例1 试问这两个估计量是否为无偏估计量？ 解 下面计算它们的方差。 例2 解 例3 证明 由于方差是度量随机变量η落在它的均值Eη的邻域内的集中或分散程度的。所以一个好的估计量η，不仅应该是待估参数θ的无偏估计，而且应该有尽可能小的方差。 定义 定义7.2.2 证明 例4 例5 解 我们不仅希望一个估计是无偏的，且具有较小的方差，有时还希望当子样容量无限增大时，即观察次数无限增多时，估计能在某种意义下越来越接近被估计的参数的真实值，这就是所谓一致性的要求。 定义7.2.3 注意： 下面证明： 证明（1） （2） （3） 定义 §7.3 参数的区间估计 注意： 在重复取样下，将得到许多不同的区间[T1,T2 ] ，根据贝努里大数定理，这些区间中大约有100(1－α)%的区间包含未知参数。 随机区间[T1,T2 ]包含θ的概率为1－α。 但对于一次抽样所得到的一个区间，决不能说“不等式 成立的概率为1－ α”。因为这时T1、T2是两个确定的数，从而只有两种可能，要么这个区间包含g(θ)，要么这个区间不包含g(θ)。 第7章 参数估计 参数的点估计 估计量优劣性的评价 参数的区间估计 参 数 估 计 在实际问题中，对于一个总体ξ往往是仅知其分布的类型，而其中所含的一个或几个参数的值却是未知的，因此只有在确定这些参数后，才能通过其分布来计算概率，如何确定这些参数的数值呢？这就是统计推断中的“参数估计”问题。 本章只研究总体分布是连续型或离散型两种情形。为简便起见，我们引入一个对这两种情形通用的概念：概率函数。我们称随机变量ξ的概率函数为f(x)是指： 在连续型情形，f(x)是ξ的密度函数。 在离散型情形，f(x)是ξ=x的概率。 定义 构造一个统计量 作定值的估计称为参数的点估计。 §7.1 点估计 矩估计的想法来源于大数定理。如果总体X存在k阶矩，对任意 有 这说明，当样本容量较大时，样本k阶矩与总体k阶矩差别很小。 7.1.1、矩法估计 （1）列出估计式。 步骤为: （2）求解关于估计量的方程组。 （3）求出矩估计。 组 解 例1 （1）列出估计式。 （2）求解关于估计量的方程组。 （3）求出矩估计。 注意：只要