概率论课件第二章 一维随机变量及其分布.ppt

例3 设已知测量误差X～N（0，102 ），现独立重复进行100次测量，求误差绝对值超过19.6的次数不少于3的概率。 解： 第一步:以A表示一次测量中“误差绝对值超过19.6”的事件，则有 第二步:以X表示100次独立重复测量中，事件A发生的次数，则X～B（100，0.05），所求概率是 P（X≥3）=1－P（X3） 第三步:由于n=100较大而p=0.05很小，故二项分布可用λ=np=5的泊松分布近似代替，查泊松分布表可得 例4 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶碰头的机会在0.01以下来设计的，设男子身高ξ服从μ=170cm、σ=6cm的正态分布，即ξ～N（170，62 ），试确定车门的高度。 解： 设车门的高度为hcm，根据设计要求应有 例5：从南郊某地乘车前往北区火车站搭火车有两条路线可走，第一条穿过市区，路程较短，但交通拥挤，所需时间（单位:分钟）服从正态分布N(50,100)，第二条沿环城公路走，路线较长，但意外堵塞较少，所需时间（单位:分钟）服从正态分布N(60,16)， （1）如有70分钟可用，问应走哪一条路线？ （2）如只有65分钟可用，问应走哪一条路线？ 解： §2.4 一维随机变量函数的分布 如X是随机变量，在y=f(x)连续、分段连续或单调时，则 Y=f(X) 也是随机变量。 例1 设X的分布律为 X －2 －1 0 1 2 P 0.15 0.2 0.2 0.2 0.25 解 P 0.15 0.2 0.2 0.2 0.25 X －2 －1 0 1 2 4 1 0 1 4 将表中取相同值的部分作适当并项得 0.2 0 0.4 0.4 P 4 1 X2 P 0.15 0.2 0.2 0.2 0.25 X －2 －1 0 1 2 2X-1 －5 －3 －1 1 3 将表中取相同值的部分作适当并项得 P 2X-1 0.25 3 0.2 1 0.2 0.2 0.15 －1 －3 －5 例2 设随机变量X具有连续的分布密度fX(x)，试求Y=aX+b（其中a，b是常数，并且a≠0）的分布密度φY(y)。 解： 例3 设随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，求 的分布密度φη(y)。 解： 证明： 例4 作业： 4、9、13、21 * * （3） 2.3.1 均匀分布 设a、b为有限数，且ab。如果随机变量X分布密度为 则称X在[a,b]上服从均匀分布，记作U(a，b) 均匀分布随机变量的分布函数为： 例4 向区间(-1,1)均匀地投掷一随机点，以ξ表示随机点的落点坐标，试求关于t的二次方程 t2+3ξt+1=0 有实根的概率。 解: ξ在(－1,1)上服从均匀分布，其密度函数为 方程t2+3 ξ t+1=0 有实根的的充要条件是 则方程有实根的概率为 2.3.2 指数分布 若随机变量X具有分布密度为 则称X服从参数为 的指数分布。 容易求得它的分布函数为 指数分布具有如下特征： 设X服从参数为a的指数分布，则对任意正数s、t，有 P(Xs+t︱Xs)= P(Xt) 称指数分布具有“无记忆”性。 指数分布是唯一具有“无记忆”性的连续型分布。 若 X ~Ｅxp(?),则 故又把指数分布称为“永远年轻”的分布 证明 命题 例5 设到某服务窗口办事，需排队等候。若等待的时间ξ是指数分布随机变量（单位:min），则其概率密度为 某人到此窗口办事，在等待15分钟后仍未能得到接待时，他就愤然离去。 试求: （1）10位顾客有2位愤然离去的概率; （2）10位顾客最多有2位愤然离去的概率; （3）10位顾客至少有2位愤然离去的概率。 解 首先可求出他在任一次排队服务时，以愤然离去而告终的概率。 在10位顾客中愤然离去的顾客人数η～B（10，p），即η服从n=10，p=0.2231的二项分布，于是所求的概率分别为 2.3.3 正态分布 若随机变量X的分布密度 其中μ、σ0为常数，则称X服从参数为μ、σ的正态分布，简记为X～N(μ,σ2) 。 X的分布函数为 特别地称N(0,1)为标准正态分布，其概率密度及分布函数常记为： 如X～N(μ,σ2)，有 证明： 命题1 证明： 命题2 例：设ξ～N(－1，4)，求P{1ξ2} 解： 即x轴是f(x)的渐近线。 正态分布的密度函数与分布函数有下列性质： （1）f(x)和F(x)处处大于零，且具有各阶连续导数； （2）f(x) 在区间(－∞，μ)内单调增加，在区间 (μ，+∞)内单调减少，在x=?处取得最大值 x=? ? f(x) x （3）f(x)的图形关于直线x=?对称，即 （4）