概率论课件第三章 随机向量及其分布.ppt

2 连续型随机变量函数的分布 若二维连续随机型向量(X?Y)的联合密度为fX,Y(x,y), 若随机变量(X?Y的函数Z?g(X?Y)，可先求Z分布函数FZ(z)，再确定Z密度函数fZ(z)。 (式中的积分是由不等式g(x , y)≤z所确定的平面区域。) 特别对和函数 Z?g(X?Y)=X+Y的分布函数FZ(z)有 当X?Y为独立随机变量时，有 可得到连续型随机变量和函数 Z?X+Y的概率密度函数： 一般将积分 称为f(x)与g(x)的卷积，记作： 卷积可交换，即 f(x)?g(x)=g(x)?f(x)。所以 结论：两个独立的连续随机变量之和的概率密度是其边缘概率密度的卷积。 例 已知X?Y独立且同服从标准正态分布，求Z=X+Y的密度函数。 解 一般有X1, X2独立且X1～N(?1,?12), X2～N(?2,?22), 则X1+X2 ～N(? 1+ ? 2 , ? 12+ ? 22)，即? = ? 1+ ? 2 , ? 2 = ? 12+ ? 22 独立的正态分布随机变量的线性函数仍服从正态分布。 若X1 ,X2,…, Xn相互独立，且Xi～N(?i,?i2) (i=1,2,…,n)，则Z=X1 +X2+…+Xn~ N( ? 1+ ? 2+…+ ? n, ? 12+? 22+…+? n2 ) 更一般地，对线性函数Y=a1X1+a2X2+…+anXn+b，(n为有限值) ，则 Y～N(?,?2) 其中 ?=a1 ? 1+a2 ? 2+…+an ? n+b ?2=a12? 12+a2? 22+…+an2? n2 命题3.4.1 随机向量X=(X1,X2,…,Xn)T服从n维正态分布的充要条件是对任k=(k1,k2, …, kn)T Rn， kTX服从一维正态分布。 命题3.4.2 随机向量X=(X1,X2,…,Xn)T服从n维正态分布，期望向量为μ=(μ1, μ2, …, μn)T ，协方差矩阵为Σ，则对任意实矩阵Am×n，有 AX~N(Aμ, AΣAT) 例3.2.1 已知一批10件产品中有3件一等品，5件二等品，2件三等品，现从这批产品中任意抽出4件，求其中一等品件数X与二等品件数Y的联合分布。 解 在任取的4件产品中， 一等品件数X的取值范围：i=0, 1, 2, 3； 二等品件数Y的取值范围：j=0, 1, 2, 3, 4； 三等品件数4-X-Y的取值范围：0,1,2; 即2≤X+Y≤4，由于是任取4件，可按古典概型计算联合分布： (X,Y) 的联合概率分布 X Y 0 1 2 3 4 pi? 0 0 0 10/210 20/210 5/210 35/210 1 0 15/210 60/210 30/210 0 105/210 2 3/210 30/210 30/210 0 0 63/210 3 2/210 5/210 0 0 0 7/210 p?j 5/210 50/210 100/210 50/210 5/210 1 例3.2.2(三项分布) 设随机试验只有A、B和C三个结果，各结果出现的概率分别为p、q和1-p-q。现将该随机试验独立地做n次，记X和Y分别是n次试验中A和B发生的次数，试求(X,Y)的联合分布与边缘分布。 解 X和Y可能的取值为0, 1, 2, …, n。试验是独立的，按独立试验概型计算得 3.2.2 二维离散型随机向量的条件分布列 设(X,Y)为二维离散型随机向量，其联合发布列为 P(X=xi,Y=yj)=pij , i , j=1,2,…。 已知事件{Y=bj}发生条件下，X的分布列称为条件分布列。 例3.2.3 设(X,Y)的联合分布如下表所示。 (1)试求{Y=1}条件下，X的条件分布列。 (2)试求{X=2}条件下，Y的条件分布列。 (X,Y) 的联合分布 X Y 0 1 2 3 4 pi? 0 0 0 10/210 20/210 5/210 35/210 1 0 15/210 60/210 30/210 0 105/210 2 3/210 30/210 30/210 0 0 63/210 3 2/210 5/210 0 0 0 7/210 p?j 5/210 50/210 100/210 50/210 5/210 1 (X,Y) 的联合分布 X Y 0 1 2 3 4 p