§5 初等矩阵.ppt

* * §5 初等矩阵 　　一、初等矩阵的概念和简单性质 二、矩阵的等价 　　一、初等矩阵的概念和简单性质 定义5.1 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵． 1.将E的第I行与第j 行交换得到初等矩阵 称为第一类初等矩阵（又称换法矩阵）. 2、用非零数c乘E的第i 行，得到初等矩阵 称为第二类初等矩阵（又称倍法矩阵）. 注　 倍法矩阵的特点是： ；其它元素与单位矩阵相同. 　3、把E的第j 行的k倍加到第i行上，得到初等矩阵 称为第三类初等矩阵（又称消法矩阵）. 注　消法矩阵的特点是： ；  其它元素与单位矩阵相同. 同样可以得到与列变换相对应的初等矩阵，这些工作 留给学生.我们指出，对单位矩阵作一次列初等变换所到 的初等矩阵也包括在上面三类初等矩阵中.因此换法、倍 法、消法初等矩阵是全部初等矩阵. 由于初等变换不改变矩阵的秩，从而把可逆矩阵E成 可逆矩阵，因此初等矩阵是可逆矩阵.直接验证可得： 命题5.1 初等矩阵皆可逆，其逆矩阵是同类型的初等矩 阵，且 这里 容易验证 命题5.2　初等矩阵的转置还是初等矩阵，其转置矩阵是 同类型的初等矩阵，且 这里 矩阵和乘法和初等变换的关系是 定理5.1　设A是 矩阵，对A施行一次行初等变换，就相当于A左乘s级初等矩阵，对A施行一次列初等变换，就相当于A右乘n级初等矩阵.具体地说： 1） A相当于把A的i ,j两行互换; A 相当于把 A的i ,j两列互换. 2） 相当于把A的第i行乘以非零数c；A 相 当于把A的第I列乘以 非零数c． 3） A相当于A的第j行乘以k加到第i行上； A 相当于A的第i列乘以k加到第j列上. 证明　只证行初等变换的情况，列初等变换的情况类似可证.将A表示成分块 于是 ， 这相当于把A的 两行交换. 　　 2）　　　　　　 这相当于把A的第i 行乘以c. 　 3)　　　　 这个定理可以用八个字概括：“左行右列，首尾为主”. 二、矩阵的等价 定义5.2 若矩阵A经过一系列初等变换得到可以化为B，则称A与B等价的（也称A与B相抵）. 注：1）矩阵的等价关系具有：反射性、对称性、传递性； 2）等价矩阵的秩相等． 由定理5.1立得 命题5.2　设A，B是同型矩阵，则A，B等价的充要条件是：存在初等矩阵 ，使 . 与A等价的矩阵有许许多多，那么能否挑出一种简单矩阵，把它作为A的代表呢？ 定理5.2　任意一个 矩阵A都与一形如 的矩阵等价，且主对角线上１的个数 等于A的秩．称这个矩阵为A的标准形． 证明　如果A＝0，结论显然成立．若 ，存 在 ，将A的第 两行交换，然后将j,1两列交换， 所得矩阵的（1，1）元非零，不妨设A中 .把A的 第一行乘 加到第 行上，然后第一列乘 加到第j列上，A化为 ， 矩阵 对 重复以上的讨论并继续下去，就可以得到标准形. 由初等变换不改变矩阵的秩，故标准形中1的个数等于A 的秩. (定理5.2证明完毕） n 级可逆矩阵的标准形单位矩阵,由命题6.2存在初等矩 阵 使 ， 因此我们有 定理5.3　 n级方阵A可逆 A能表成初等矩阵的乘积 推论1： 两个 矩阵A、B等价 存在s级可逆矩 阵P和n级可逆矩阵Q，使B=PAQ． 推论2：可逆矩阵可经一系列初等行变换化成单位矩阵E 　 若A可逆，A能表成初等矩阵的乘积,设A= ， 为初等矩阵.由