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数塔问题 例 数塔问题 有形如右图的一个数塔，从顶部出发，在每一结点可以选择向左走或是向右走，一直走到底层，要求找出一条路径，使路径上的数值和最大。 1 贪婪算法 贪婪策略？ 2 枚举 最保险的思路，列举出所有可能的 路径再比较，得出和最大的路径。 2 枚举-递归 3 动态规划的手工计算 3 动态规划的手工计算 3 动态规划的手工计算 顺序与逆序解法本质上无区别； 4 动态规划的算法实现 原始信息存储 层数用整型变量n存储； 数塔中的数据用二维数组data[ ][ ]存储，下三角阵。 4 动态规划的算法实现 输出data[1][1]“9”； b d[1][1]-data[1][1] 59-9 50 b与d[2][1],d[2][2] 比较b与d[2][1]相等，输出data[2][1]“12”； b d[2][1]-data[2][1] 50-12 38 b与d[3][1],d[3][2] 比较b与d[3][1]相等，输出data[3][1]“10”； b a[3][1]-data[3][1] 38-10 28 b与d[4][1],d[4][2] 比较b与d[4][2]相等，输出data[4][2]“18”； b d[4][2]-data[4][2] 28-18 10 b与d[5][2],d[5][3] 比较b与d[5][3]相等，输出data[5][3]“10” 。 4 动态规划的算法实现 为了设计简洁的算法，可以用三维数组a[50][50][3]存储以上确定的三个数组的信息。 a[50][50][1]代替数组data， a[50][50][2]代替数组d, a[50][50][3]记录解路径。 5 动态规划的思想和概念-基本思想 动态规划的基本思想 动态规划方法的基本思想是，把求解的问题分成许多阶段或多个子问题，然后按顺序求解各子问题。最后一个子问题就是初始问题的解。 5 -主要概念 阶段：把问题分成几个相互联系的有顺序的几个环节，这些环节即称为阶段。 状态：某一阶段的出发位置称为状态。通俗地说状态是对问题在某一时刻的进展情况的数学描述。 决策：从某阶段的一个状态演变到下一个阶段某状态的选择。 状态转移方程：根据上一阶段的状态和决策导出本阶段的状态。这就像是“递推”。 5 -主要概念-数塔问题 阶段：每行就是一个阶段； 5 -递归实现 int a[100][100], f[100][100]; int max int i,int j,int n int left,right; if i n || j n f[i][j] a[i][j]; if f[i][j] ! -1 return f[i][j]; left max i+1,j,n ; //左边 right max i+1,j+1,n ; //右边 return f[i][j] left right ? left+a[i][j] : right+a[i][j] ; 5 -适合解决的问题的性质 动态规划算法的问题及决策应该具有两个性质：最优化原理、无后向性。 1 最优化原理 或称为最佳原则、最优子结构 ； 2 无后向性 无后效性 ：某阶段状态一旦确定以后，就不受这个状态以后决策的影响。即某状态以后的过程不会影响以前的状态，只与当前状态有关。 5 -适合解决的问题的性质-数塔问题 最优化原理 最优子结构 9- 12- 10- 18- 10 显然12- 10- 18- 10也是12到最后一层的最大和…… 5 -设计步骤 设计动态规划算法的基本步骤 设计一个标准的动态规划算法的步骤： 1 划分阶段； 2 选择状态； 3 确定决策并写出状态转移方程。 * * 9 12 15 10 6 8 2 18 9 5 19 7 10 4 16 问题分析 数组存放下三角数据 9 12 15 10 6 8 2 18 9 5 19 7 10 4 16 口算结果？ 9- 12- 10- 18- 10 9 12 15 10 6 8 2 18 9 5 19 7 10 4 16 是否满足贪婪选择性质？ 是否满足最优子结构性质？ 9 12 15 10 6 8 2 18 9 5 19 7 10 4 16 重复工作： 循环、递归。 如何循环？ 递归如何？ 使问题向边界条件转化的规则 递归定义 。 递归边界条件； 算法1 int a[100][100]; //下三角形存放数据 int max int i, int j, int n //递归函数 int left,right; if i n || j n //到达边缘