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代数中的若干问题 代数的出现及发展 一 萌芽和发展 代数学的基本特征是解方程，即对未知数进行运算。代数学的起源可以追溯到巴比伦的泥板和埃及的草书。在巴比伦的泥板中不仅有一次方程问题，而且还有二次方程和二元二次方程联立的问题。由于当时没有复数的概念，所以巴比伦只取正根。在埃及人阿梅斯的草书中也有一次和二次方程的问题，他们对代数问题的解法都是用语言来叙述，使得解题过程很繁琐，在数学史上称为文字代数。 代数与算术的区别除了一个是对未知数进行运算，另一个是对已知数进行运算外，主要的区别还在于代数中数的概念已由算术中的正有理数扩大到负数、无理数乃至实数。而中国和印度则在相当早的时期就有了负数的概念，其几何问题大多化归为代数问题解决，为代数学的发展做出了重要的贡献。负数在西方得到承认则是近代数学时期的事。 代数学从数学中开始分化起于罗马时期，定型于阿拉伯时期，而完成于16世纪，中间经过了一千余年的演变。欧洲在罗马帝国时期，数学思想有了很大的转变。曾被希腊人几何化了的代数开始从几何中分化，为以后代数学的发展奠定了基础。这一分化主要体现在尼克马修、 丢番图和花拉子模等人的工作中。 代表罗马帝国时期数学特点和代数发展高峰的是丢番图，有人称他为代数学的鼻祖。他对数学的贡献主要有两个：一个是关于代数不定方程的整数解的研究，由此奠定了今天数学中的丢番图分析。二是在代数中采用成套的符号是丢番图的重要贡献。 二 符号的产生 符号在数学中的重要性是显然的，在一定意义上说，没有优越的符号就不可能有近代和现代数学。系统采用了数学的符号的代数的产生构成了近代数学的一个开端。在符号代数的形成过程中，韦达做出了重要的贡献。 韦达对数学的两个主要贡献：一是用元音字母表示未知数，辅音字母表示已知数，后者意义很大，说明人们对数量关系认识的提高。二是韦达第一次把代数与算术作了明确的区分：代数是关于类或形式的计算技术，算术则是关于具体数字的计算技术。 韦达在研究方程问题的过程中创立符号代数，他系统地利用字母来表示方程中的量：用辅音字母B、C、D等表示已知量，用元音字母A等表示未知量，用Aquadratus表示A2，Acubus表示A3。并将这些量的运算称为“类的运算”，与用于确定数目的“数的运算”相区别。对这种类，韦达借用欧几里得《几何原本》中对量所做的规定，即“整体等于部分之和”、“等量加等量其和相等”等公理及其某些运算性质，使类的运算法则等同于通常的数的运算法则。这样，一方面，使他的方法对数和几何量在使用上是一致的，另一方面，使这种“类”成为任意的数的代表。表类的字母就成为一般意义下的数学符号。由此，人类迈出了符号代数的决定性的一步，代数成为研究用数学符号表示的一般的类的学问。从这一点出发，韦达给出方程的一个定义：一个方程是一个未知量与一个确定量的比较。并以此对一些传统的几何学问题作了一些新的探讨，例如，把尺规作图问题与二次方程问题联系起来，把求某一几何量转化为求某一相应方程转化的未知量。 韦达的这些工作极大地推动了代数学的发展，因此，他在西方被称为“代数学之父”。 继韦达之后，笛卡尔再次对韦达等建立的字母系统作了改进，用英文字母表中最前面的字母a、b、c等表示已知量，而靠后的字母x、y、z等表示未知量，终于使字母表示数的地位在代数学上确立起来。 德国著名数学家克莱因指出：“代数学上的进步是引进了较好的符号体系，这对它本身和分析的发展比十六世纪技术上的进步远为重要。事实上，采取了这一步，可使代数有可能成为一门科学”。 代数简介 代数是更古老的算术的推广和发展。在古代当算术积累了大量的关于各种数量问题的解法后，为了寻求有系统的、更普遍的方法，以解决各种数量关系的问题，就产生了以解方程的原理为中心问题的初等代数。代数是由算术演变而来的，这是毫无疑问的。至于什么年代产生的就很不容易说清楚了。用符号表示方程的技巧，则是在十六世纪才发展起来的。如果我们对代数符号不是要求像现在这样简练，那么，代数学的产生可上溯到更早的年代。西方人将公元前三世纪古希腊数学家丢番图看做是代数学的鼻祖。在中国，用文字来表达的代数问题出现的就更早了，而且，代数的内容和方法也在古代就产生了，比如《九章算术》中就有方程问题。 从“九章算术”卷八说明方程以后，在数值代数的领域内中国一直保持了光辉的成就。“九章算术”方程章首先解释正负数是确切不移的，正像人们学习初等代数时从正负数的四则运算学起一样，负数的出现便丰富了数的内容，古代的方程在公元前一世纪的时代已有多元方程组、一元二次方程及不定方程几种。一元二次方程是借用几何图形而得到证明。不定方程的出现在二千多年前的中国是一个值得重视的课题，这比人们所熟知的希腊丢番图方程要早三百多年。 具有和形式的三次方程，中国在公元七世纪的唐代王孝通“缉古算经”已有记载，用“